物理學習指南/圓周運動

勻速圓周運動

速度和頻率

勻速圓周運動假設物體運動時 (1) 做圓周運動，並且 (2) 以恆定速度 $v$ 運動；那麼

$T={\frac {2\pi r}{v}}$

其中 $r$ 是圓形路徑的半徑， $T$ 是物體繞一圈所需的時間。

任何在圓周上運動的物體都會在經過一個週期的旋轉後回到它最初的起點， $T$ 。此時，物體已經行進了距離 $2\pi r$ 。如果 $T$ 是物體走完距離 $2\pi r$ 所需的時間，那麼物體的速度是

$v={\frac {2\pi r}{T}}=2\pi rf$

其中 $f={\frac {1}{T}}$

角速度

勻速圓周運動可以用極座標系的角速度 $\omega$ 來顯式地描述

$\omega ={\frac {d\theta }{dt}}$

其中 $\theta$ 是物體的角座標（參見右側的圖表以作參考）。

由於勻速圓周運動中的速度是恆定的，因此

$\omega ={\frac {\Delta \theta }{\Delta t}}$

由此事實，可以得出一些有用的關係

$\omega ={\frac {2\pi }{T}}=2\pi f={\frac {v}{r}}$

描述 $\theta$ 如何隨時間變化的方程類似於勻速直線運動的方程。特別是：

$\theta =\theta _{0}+\omega t$

在 $t=0$ 時的角度， $\theta _{0}$ ，通常被稱為相位。

速度、向心加速度和力

平面中物體的座標可以根據以下公式從極座標轉換為直角座標

${\begin{aligned}x&=r\cos(\theta )\\y&=r\sin(\theta )\end{aligned}}$

將 $\theta$ 表示為時間的函式，則可以得到直角座標隨時間變化的公式，用於描述勻速圓周運動

${\begin{aligned}x&=r\cos(\theta _{0}+\omega t)\\y&=r\sin(\theta _{0}+\omega t)\end{aligned}}$

對時間求導可以得到速度向量的分量

${\begin{aligned}v_{x}&=\omega r(-\sin(\omega t))=-v\sin(\omega t)\\v_{y}&=\omega r\cos(\omega t)=v\cos(\omega t)\end{aligned}}$

圓周運動中的速度向量與物體的軌跡相切。此外，即使速度恆定，速度向量也會隨時間變化方向。進一步求導可以得到加速度的分量（這僅僅是速度分量變化率）。

${\begin{aligned}a_{x}&=-\omega ^{2}r\cos(\omega t)\\a_{y}&=-\omega ^{2}r\sin(\omega t)\end{aligned}}$

加速度向量垂直於速度並指向圓形軌跡的中心。因此，圓周運動中的加速度被稱為向心加速度。

向心加速度的大小可以透過以下公式得到

${\begin{aligned}a_{c}&={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}={\sqrt {(\omega ^{2}r)^{2}{\big (}\cos ^{2}(\omega t)+\sin ^{2}(\omega t){\big )}}}\\&=\omega ^{2}r={\frac {v^{2}}{r}}\end{aligned}}$

為了維持向心加速度，以及因此的圓周運動，一個向心力必須作用於物體。根據牛頓第二定律，該力將由以下公式給出：

${\vec {F_{c}}}=m{\vec {a_{c}}}$

其分量為：

${\begin{aligned}F_{x}&=-m\omega ^{2}r\cos(\omega t)\\F_{y}&=-m\omega ^{2}r\sin(\omega t)\end{aligned}}$

而其絕對值為：

$F_{c}=m\omega ^{2}r=m{\frac {v^{2}}{r}}$