物理學習指南/向量和標量

向量是具有數值量（稱為“大小”，用 |v| 表示）和方向的物理量。速度是向量的例子；它描述了位置隨時間的變化率，具有數值量（米每秒）以及指示運動方向。

向量的定義是任何根據平行四邊形法則相加的量（有一些物理量具有大小和方向，但不是向量）。

標量是物理學中沒有方向的量。質量是一個標量；它可以用單位（千克）描述物質的數量，但不描述任何方向。

向量和標量的乘法

標量乘以標量得到標量結果。
向量被標量乘以得到標量結果（稱為點積）。
向量被向量叉乘得到向量結果（稱為叉積）。
向量乘以標量得到向量結果。

關於向量的常見問題

什麼時候標量和向量組合本質上相同？

答案：當多個向量在同一方向時，我們可以直接將大小相加。因此，標量和向量組合將與我們不新增方向時的相同。

什麼是“點積”？(當力不平行於位移時)

答案：讓我們以重力作為我們的力。如果你從飛機上跳下來，你會加速下落。（為簡單起見，讓我們忽略空氣阻力）。為了計算任何一點的動能，你只需將重力引起的力的值乘以在力方向上移動的距離。例如，一個 180 牛頓的男孩下落 10 米，將獲得 1800 焦耳的額外動能。我們說重力對該人做了 1800 焦耳的功。

請注意，能量不是向量。它有一個值，但沒有方向。重力和位移是向量。它們有值和方向。（在本例中，它們的方向分別是向下和向下）。我們能夠從向量重力和位移中得到一個標量能量的原因是，在本例中，它們恰好指向相同的方向。重力向下作用，位移也向下。

當兩個向量指向相同的方向時，可以透過將兩個向量的值相乘並忽略方向來得到標量積。

但是，如果它們不指向相同的方向會發生什麼呢？

考慮一個人走上山坡。顯然，這樣做需要能量，因為你在對抗重力。山坡越陡峭，爬上它每一步需要的能量就越多。除非我們住在鹽湖上，否則我們都知道這一點。

在這樣的情況下，我們仍然可以計算出所做的功。在圖中，綠線代表位移。為了找出該人對抗重力做了多少功，我們計算出位移在重力作用線上的投影。在本例中，它只是該人位移的 y 分量。這就是 cos θ 出現的地方。θ 僅僅是速度向量和力向量之間的夾角。

如果兩個力不指向相同的方向，你仍然可以透過將一個力在另一個力方向上的投影相乘來得到標量積。因此

{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\equiv \|{\vec {a}}\|\ \|{\vec {b}}\|\ \cos \theta

還有另一種定義點積的方法，它依賴於分量。

{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\equiv a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}

什麼是“叉積”？(磁場中帶電粒子的力)

答案：假設有一個帶電粒子在恆定的磁場中運動。根據電磁定律，該粒子受到一種稱為洛倫茲力的作用。如果該粒子以 30 米/秒的速度從左向右運動，並且磁場強度為 30 特斯拉，垂直指向粒子，那麼該粒子實際上將在兩個粒子所在的平面上以螺旋形向外加速，其加速度為其電荷（以庫侖計）乘以 900 牛頓/庫侖！這是因為洛倫茲力的計算涉及叉積。叉積可以用來代替 sin0，從而在乘法過程中進行。叉積可以使用兩個向量之間的角度和你的右手來簡單計算。如果兩個力平行或彼此相差 180°，則很簡單：叉積不存在。如果它們完全垂直，則叉積的大小為兩個大小的乘積。對於其他所有情況，則使用以下公式：