使用幾何代數的物理學/基本幾何代數
克利福德將他的代數描述為幾何代數，因為它們的代數運算自然地對映到幾何運算。特別是，它們提供了對各種空間中的旋轉和反射的優雅表示。本介紹將解釋幾何代數的工作原理以及它們如何與幾何運算對應。
幾何代數是一個代數族。從物理學的角度來看，最有趣的幾何代數是 G2 (2D)、G3 (歐幾里德空間) 和時空代數 (STA)。為了說明目的，我們將從 G2 (2D) 開始。(我們將在本節中不討論時空代數)。
代數可以定義為向量空間加上乘積運算，其中向量空間由可以相加和按比例縮放的向量組成，其中標量是實數。
e1 和 e2 是正交基向量，這意味著 |e1| = |e2| = 1，並且 e1 和 e2 是正交的。(參見圖 1)。
e1 是 x 軸的單位向量。e2 是 y 軸的單位向量。
我們知道如何將兩個向量相加，只需將分量相加即可(參見圖 2)
1e1 + 3e2 (u)
+ 2e1 + 1e2 (v)
————————
= 3e1 + 4e2 (w)
注意：[3,4] 不是向量； 3e1 + 4e2 是向量。
幾何代數中的向量積是什麼？
對向量乘法的簡單方法是代數交叉相乘
(ae1 + be2)(ce1 + de2) =
ace1e1 + ade1e2 + bce2e1 + bde2e2
但 e1e1、e1e2、e2e1 和 e2e2 是什麼？
作為對這個問題的部分回答，我們引入了一個新的基元素 e12，它對應於 x-y 平面(參見圖 3)。我們規定 e1e2 = e12 並且 e2e1 = -e12。
兩個基向量的乘積是一個平面。
您可以將 e1e2 視為將 e1 沿 e2 的方向掃過。 覆蓋的區域是 e12。
基元素的方向取決於從第一個向量到第二個向量旋轉時你旋轉的方式。如果你以右手方式移動(例如，在圖 3 的第一張影像中，從 e1 到 e2)，那麼方向為正。如果你以左手方式移動(例如，在圖 3 的第二張影像中，從 e2 到 e1)，那麼方向為負。(“右手”指的是當你拇指指向你的方向，而你的手沿手指方向移動時，你的右手轉動的方向。)
如果你包含一個標量元素，我們現在在 G2 中有四個基元素：1、e1、e2 和 e12。
下表定義了這些基元素之間的乘法，其中行對應於乘積中的左項，列對應於右項
| L\R | 1 | e1 | e2 | e12 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | e1 | e2 | e12 |
| e1 | e1 | 1 | e12 | e2 |
| e2 | e2 | -e12 | 1 | -e1 |
| e12 | e12 | -e2 | e1 | -1 |
請注意，乘以 e12 會使基向量旋轉 90 度
從左側乘以 e12 會導致左手旋轉 (e1 -> -e2 -> -e1 -> e2)。
從右側乘以 e12 會導致右手旋轉 (e1 -> e2 -> -e1 -> -e2)。
另請注意，e12 的平方等於 -1，這對應於旋轉 180 度。
e12 在 G2 中起著 i 的作用。
我們現在可以說在 G2 中將兩個向量交叉相乘意味著什麼
(ae1 + be2)(ce1 + de2)
= ace1e1 + ade1e2 + bce2e1 + bde2e2
= ac + ade12 - bce12 + bd
= (ac + bd) + (ad - bc)e12.
這個標量加上縮放的基平面與複數(x +yi) 同構，其中 e12 起著虛數 i 的作用。
我們將任何形式為 a + be12 的表示式稱為旋量(或旋轉子)。(我們將在下一節中看到為什麼它有這個名稱。)
兩個向量的乘積是一個旋量。
請注意，ac + bd 是兩個向量點積(或內積) 的定義，而 ad - bc 是兩個向量外積(或外積) 的定義。因此，uv = u·v + u∧v。
一般來說，G2 中的多向量有四個分量：a + be1 + ce2 + de12。
我們將保留“向量”一詞來指代僅包含基向量的多向量：be1 + ce2。
旋量是一個僅包含標量和基平面的多向量：a + de12。
當我們從右側乘以 e12 時
(ae1 + be2) e12 = ae2 - be1
我們看到 e12 將向量中的每個基向量旋轉 90 度
e1 -> e2
e2 -> -e1。
這會將整個向量旋轉 90 度(參見圖 4)。這是因為向量只是其基向量的總和，所以如果基向量被旋轉，向量也會被旋轉。
將任何向量乘以 e12 會將向量旋轉 90 度。
當我們乘以旋量乘以向量時，我們得到
(a + be12) (ce1 + de2)
= a(ce1 + de2) + be12(ce1 + de2)
= a(ce1 + de2) + b(de1- ce2).
結果在向量的原始方向上有一個分量(旋量的標量乘以向量(圖 5 中的 a))，加上一個垂直於向量的分量(旋量的 e12 乘以向量，這會將向量旋轉 90 度(圖 5 中的 b))。這種組合允許向量任意旋轉。
將旋量乘以向量會旋轉向量。
令 u = ae1 + be2
並且 v = ce1 + de2。
那麼
uv = (ae1 + be2)(ce1 + de2)
= (ac + bd) + (ad - bc)e12
= R.
那麼 uR = (ae1 + be2) [[(ac + bd) + (ad - bc)e12]]
= ae1(ac + bd) + ae2(ad - bc) + be2(ac + bd) - be1(ad - bc)
= [a2c + abd - abd + b2c]e1 + [a2d - abc + abc + b2d]e2
= [a2c + b2c]e1 + [a2d + b2d]e2
= [a2 + b2]ce1 + [a2 + b2]de2
= [a2 + b2](ce1 + de2)
= [a2 + b2]v.
因此，如果 uv = R，那麼 uR = |u|2v。
R = uv 表示 u 到 v 之間的旋轉。
另一種展示方法是注意到，由於對於任何向量，uu = |u|2（外積為零，所以只剩下點積），那麼 uR = u(uv) = (uu)v = |u|2v。所以，當 R 在右邊時，它將向量從 u 旋轉到 v。類似地，由於 Rv = (uv)v = u(vv) = |v|2u，當 R 在左邊時，它將向量從 v 旋轉到 u。
令 R = uv。我們知道 uR = u(uv) = (uu)v = |u|2v。現在考慮 vR。我們知道 R 將向量旋轉 u 和 v 之間的角度。當我們將 v 從 u 旋轉 u 和 v 之間的角度時，我們將得到 u'，它是 u 關於 v 的反射。（見圖 6。）
在歐幾里得空間中，有三個對應於三個平面的基元素：e12（x-y 平面）、e23（y-z 平面）和 e31（x-z 平面）。 還有一個對應於空間的基元素：e123。
就像任意向量可以表示為縮放基向量的和一樣，任意平面可以表示為縮放基平面的和。因此，u∧v 是縮放基向量的和，它表示包含 u 和 v 的平面。（u∧v 是 uv 去掉標量元素，可以用 (uv - vu)/2 計算。）
G3 多向量包含八個元素
多向量 = a + be1 + ce2 + de3 + fe12 + ge23 + he31 + ke123
多向量的以下子集很有用
向量 = be1 + ce2 + de3
平面 = fe12 + ge23 + he31
旋量 = a + fe12 + ge23 + he31
旋量與泡利旋量同構。
以下是 G3 的乘法表
| 1 | e1 | e2 | e3 | e12 | e23 | e31 | e123 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | e1 | e2 | e3 | e12 | e23 | e31 | e123 |
| e1 | e1 | 1 | e12 | -e31 | e2 | e123 | -e3 | e23 |
| e2 | e2 | -e12 | 1 | e23 | -e1 | e3 | e123 | e31 |
| e3 | e3 | e31 | -e23 | 1 | e123 | -e2 | e1 | e12 |
| e12 | e12 | -e2 | e1 | e123 | -1 | -e31 | e23 | -e3 |
| e23 | e23 | e123 | -e3 | e2 | e31 | -1 | -e12 | -e1 |
| e31 | e31 | e3 | e123 | -e1 | -e23 | e12 | -1 | -e2 |
| e123 | e123 | e23 | e31 | e12 | -e3 | -e1 | -e2 | -1 |
注意，此表中只包含 1、e1、e2 和 e12 的行和列的子集與 G2 的乘法表相同。類似地，對於只包含 1、e1、e3 和 e31 的子集以及只包含 1、e2、e3 和 e23 的子集。因此，二維平面的幾何嵌入在三維空間的幾何中。表中唯一新增的元素是那些以某種方式涉及 e123 或涉及兩個基平面相乘的元素。
將基平面乘以剩餘向量得到 e123:
e12e3 = e123
e1e23 = e123
e2e31 = e123
e31e2 = e123
想象一下平面在向量方向上掃過空間。
將任何東西乘以 e123 會得到它的對偶（注意：向量和平面互為對偶，標量和空間互為對偶）
e12e123 = e3
e1e123 = e23
1e123 = e123
e123e123 = -1
這使我們能夠用外積來定義叉積
u⨯v = e123u∧v。
叉積和外積互為對偶。
將一個平面乘以另一個平面得到第三個平面:
e12e23 = -e31
e12e31 = e23
e23e31 = -e12
e31e23 = e12
三個基平面對應於四元數中的i、j、k，G3 旋量與四元數同構。你可以透過將表中只包含 1、e12、e23 和 e31 的行和列的子集與以下表進行比較，其中 e12 對應於 i，e31 對應於 j，e23 對應於 k。
| × | 1 | i | j | k |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | i | j | k |
| i | i | −1 | k | −j |
| j | j | −k | −1 | i |
| k | k | j | −i | −1 |
整個 G3 乘法表基於兩個規則:
eiei = 1
eiej = -ejei (i ≠ j)
以下是一些工作示例（記住 eij = eiej 以及 eijk = eiejek）
e12e12 = e1e2e1e2 = -e1e2e2e1 = -e1e1 = -1
e123e3 = e1e2e3e3 = e1e2 = e12
e2e31 = e2e3e1 = -e2e1e3 = e1e2e3 = e123
G3 中的旋轉比 G2 中的旋轉稍微複雜一些。如果要旋轉的向量位於旋轉平面中，則 G3 中的旋轉可以正常工作。但是，如果要旋轉的向量位於旋轉平面之外，則 G3 中的旋轉不會產生正確的向量。要看到這一點，考慮將 e1 + e2 + e3 繞 e12 右側旋轉。根據 G3 的乘法表，我們得到
e2 - e1 + e123
前兩個元素對應於將 e1 + e2 繞 e12 旋轉。最後一個元素是將 e3 乘以 e12 時得到的：體積 e123。
解決此問題的方法是將結果繞旋轉的共軛（旋轉的共軛會使旋轉的所有非標量元素取反）在另一側旋轉
-e12(e2 - e1 + e123) = -e1 - e2 + e3
此旋轉再次將前兩個元素在同一方向旋轉，導致總旋轉 180 度。它還恢復了 e3。
一般而言，你使用夾心旋轉在 G3 中旋轉向量
v’ = RvR*
其中 R* 是 R 的共軛。
實際上，你將向量旋轉兩次，每個旋量提供一半的旋轉。
這可以推廣到任何多向量 V
V’ = RVR*
特別是，可以旋轉旋量。結果是兩次旋轉的總和。