幾何代數物理學/數學介紹

數系

幾何代數是數系的一個例子。特別是，它是一個數學家稱為域上的代數的例子。但由於本書並非專門為數學家撰寫，因此本頁旨在解釋這到底意味著什麼，對數系是什麼以及如何構建數繫有一個總體印象，並展示幾何代數在其中的位置。你可能已經瞭解了本節中的大部分內容，這裡主要為了比較而給出，但以這種方式呈現可能會引發一些有趣的問題。

也許最基本的數系是自然數或計數數。這是我們熟悉的數字集 0、1、2、3 等。自然數的一個基本屬性是，對於每個自然數 *n*，都存在一個自然數 *n* + 1（它永遠不等於 *n*）位於它之後。由於無論 *n* 多大，這都是正確的，因此自然數有無限多個。我們將緊隨 *n* 之後的第一個數字稱為 *n* 的後繼者。這個性質是自然數的基本性質之一的原因是，任何自然數都可以用後繼函式對 0 應用若干次來表示。事實上，如果你有另一個事物集合，其中每個事物都有一個後繼者，並且只有一個事物不是任何其他事物的後繼者，那麼你的事物集合就可以與自然數相對應 - 只需將不是任何事物後繼者的那個事物稱為 0，然後從那裡開始。後繼運算很重要的另一個原因是，加法和乘法的基本運算可以簡化為它。兩個自然數 *a* 和 *b* 的和是 *a* 的第 *b* 個後繼者。同樣，*a* 和 *b* 的積是 *a* 與自身相加 *b* 次的結果。*a* 的 *b* 次方以類似的方式定義，即 *a* 與自身相乘 *b* 次的結果。

我們引入的加法和乘法運算有一些重要的共同性質。如果你將三個數字相加，則無論你首先將第一個和第二個數字相加，然後將第三個數字加到你的結果中，還是首先將第二個和第三個數字相加，然後將你的結果加到第一個數字中，結果都是一樣的。用方程式形式表示，即 ( *a* + *b* ) + *c* = *a* + ( *b* + *c* )。相應的陳述對於乘法也是正確的。也就是說，*a*( *bc* ) = ( *ab* )*c*。這稱為結合律，因為它說明了項（或因子）的結合順序無關緊要。結合律的兩種形式對所有自然數 *a*、*b* 和 *c* 都成立。對變數的所有值都成立的陳述稱為恆等式，數學家有時說它是恆等成立的或恆等成立的。這可能令人困惑，因為它與恆等的日常定義相沖突，但意義通常在上下文中很清楚。

加法和乘法另一個重要的恆等式是交換律，它說明加（或乘）兩個數字的順序無關緊要。也就是說，對於所有自然數 *a* 和 *b*，*a* + *b* = *b* + *a* 以及 *ab* = *ba*。此外，對於所有自然數 *a*，0 + *a* = *a* + 0 = *a* 以及 1*a* = *a*1 = a。因此，0 稱為加法的單位元，1 稱為乘法的單位元 - 這是對恆等的另一種理解。將乘法與加法聯絡起來的另一個重要恆等式是分配律，它說明對於所有自然數 *a*、*b* 和 *c*，*a*( *b* + *c* ) = *ab* + *ac*。

在最近的過去，數學家開始研究具有某些或所有這些性質（包括我們稍後將要討論的性質）的“數字”集合，併為某些屬性組合想出了名稱。任何具有滿足結合律且具有單位元的運算的元素集合稱為么半群。特別是，自然數與加法一起構成了一個稱為（由於很明顯的原因）交換么半群。自然數與乘法一起也構成了一個交換么半群，但型別有所不同。要了解差異，請注意，任何自然數都可以透過將 1 和 0 以各種組合相加來形成，但沒有（有限的）數字集，你可以使用類似的乘法方式來構建所有自然數。但是，確實存在具有此屬性的無限集 - 例如，包含 0、1 和所有素數的集合。

逆元和群

關於自然數，我們可以提出的最基本的問題之一是：給定兩個自然數 *a* 和 *b*，什麼數字與 *a* 相加可以得到 *b*？我們稱之為一對 ( *a*，*b* ) 的減法問題。對於給定的一對 ( *a*，*b* )，滿足減法問題的自然數永遠不會超過一個；如果存在，我們稱該數字為 *b* - *a*。例如，問題“什麼數字與 6 相加可以得到 13？”的答案是 13 - 6 = 7。但是，假設我們問“什麼數字與 12 相加可以得到 9？”沒有答案。在我們剛剛構建的集合中，沒有一個數字 *n* 具有 12 + *n* = 9 的性質。但假設有這樣一個數字。如果它服從與自然數相同的規則，我們將能夠說它也滿足 20 + *n* = 17，因為 9 = 9，因此 8 + 9 = 8 + 9 - 但 12 + *n* = 9，所以 8 + ( 12 + *n* ) = 8 + 9。使用結合律，我們可以證明這意味著 ( 8 + 12 ) + *n* = 8 + 9，所以，由於我們知道 8 + 12 是 20 並且 8 + 9 是 17，所以 20 + *n* = 17。透過以相反的方式執行相同型別的推理，我們可以證明我們的數字 *n* 必須也滿足 3 + *n* = 0。因此，從符號上來說，我們可以說我們的數字是 0 - 3，因為它解決了我們對 3 和 0 的原始問題，就像 13 - 6 = 7 解決對 6 和 13 的問題一樣。通常，我們會省略 0 並將此數字寫成 -3。透過將所有大於 0 的自然數 -*n* 新增到我們的集合中，我們最終得到了減法問題的解決方案，不僅對於 ( *n*，0 ) 對，而且對於我們新集合中的所有數字對 ( *a*，*b* )。（注意，我們不必新增 -0，因為減法問題已經對 ( 0，0 ) 對有了解決方案 - 即 0。）

我們需要小心，確保我們所談論的內容 - 整數集合 - 確實存在，並且我們能夠在這些新數字集合上以有意義的方式定義加法和乘法。（當然，整數是一個眾所周知的系統，你幾乎肯定已經知道如何對它們進行加法和乘法，但這旨在作為演示和澄清。）有一種方法是透過滿足減法問題的數字對的集合來表示數字。我們透過制定一組規則來做到這一點，這些規則告訴我們兩個對是否表示相同的數字 - 數學家稱為等價關係。在這種情況下，我們會說 ( *a*，*b* ) 對與 ( *c*，*d* ) 對等價當且僅當 ( *a* + *d* = *b* + *c* )。然後，將 *b* - *a* 寫成與 ( *a*，*b* ) 相關的對集，我們透過我們想要遵循的規則來定義加法和乘法：（ *b* - *a* ) + ( *d* - *c* ) = ( *b* + *d* ) - ( *a* + *c* ) 以及 ( *b* - *a* )( *d* - *c* ) = ( *ac* + *bd* ) - ( *ad* + *bc* )。現在，我們所要做的就是為每個自然數 *n* 命名集合 *n* 和 -*n*，這很簡單 - 只需讓 *n* 是我們一直稱為 *n* - 0 的對集，而 -*n* 是對集 0 - *n*。（你能看到這一切是如何組合在一起的嗎？提示：嘗試畫一張圖。）

我們的新數字集合，與加法一起，具有一個新的重要屬性 - 每個整數都有一個逆元，或者說一個可以與它相加得到單位元（即 0）的數字。具有此屬性的么半群稱為群 - 這個名稱可能令人困惑，尤其是因為群的日常意義與數學定義不同，並沒有與之相關的結構概念。像整數這樣的交換群也稱為阿貝爾群，以數學家尼爾斯·亨利克·阿貝爾的名字命名。

關於整數，我們可以提出的一個問題是乘法的減法問題等價問題：除法問題。給定一對整數 ( *a*，*b* )，它詢問什麼數字與 *a* 相乘可以得到 *b*。我們稱 *a* 和 *b* 這對的除法問題的答案（如果存在）為 *b*/ *a*。如果我們像對待自然數的減法問題一樣對待除法問題，我們最終會得到一個新的數字集合，即有理數集合，其中除了 0 之外的每個數字都具有一個乘法逆元 1 / *a*。像有理數這樣的集合，與加法運算一起構成一個阿貝爾群，與乘法運算一起構成一個非零元素集構成一個群，稱為域。

幅度和連續統

我們將自然數擴充套件到整數，再擴充套件到有理數的過程，是一個抽象和概括的過程：如果一個方程有解，並且滿足我們已經學過的關於數字的規則，那麼它必須具有一定的性質。一旦我們知道了它必須具有的所有性質，我們就可以構建一個新的數字集合，在這個集合中它確實存在。我們可以把這個過程進行得更深入。有些方程無法用有理數解出，例如 $x^{2}=2$。在將無理數引入我們的體系時，讓我們比嚴格要求的更進一步，允許所有具有小數展開式的數字作為我們集合的一部分，我們將這個集合稱為實數。實數具有一些有趣的性質：每個正實數都有一個實根（任意階）和一個實對數，而且它們是完備的，這意味著對於每個實數集合，你都可以找到一個確切的數字，它大於集合中的所有其他數字，並且小於具有這種性質的所有其他數字。你不能對所有有理數集合都這樣做——例如，對於集合 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ..., 這個集合包含無限多個接近 $\pi$ 的數字。它們最有趣的性質之一是，你可以將一條直線上每一個點分配給一個確切的實數，並覆蓋整條直線。不知不覺，在這個抽象和概括的過程中，數字從我們用來計數的工具，轉變為我們用來描述形狀的工具，而這正是幾何代數的基礎概念。

複數

複數可以被看作平面上的點。

如你所知，實數並不是故事的結尾。仍然有一些方程無法用任何實數解出，例如 $x^{2}=-1$。為了解出這樣的方程，我們將引入一個數字 $i={\sqrt {-1}}$。我們用 $i$ 構建的新的數字集合，它包含所有形式為 $a+bi$ 的數字，其中 $a$ 和 $b$ 是實數，被稱為複數。 $i$ 是一個非常了不起的發明。首先，它是我們必須跨越的最後一個障礙——每個代數方程在複數域中都有解。因此，我們說複數是代數封閉的。

由於複數不像我們討論過的其他數字集合那麼熟悉，所以我會簡要介紹一下如何使用它們。要找到兩個複數的和，我們使用分配律以及加法的結合律和交換律

$(a+bi)+(c+di)=a+bi+c+di=a+c+bi+di=(a+c)+(b+d)i$.

要找到它們的積，我們使用分配律以及 $i^{2}=-1$ 的事實

$(a+bi)(c+di)=a(c+di)+bi(c+di)=ac+adi+bci+bdi^{2}=(ac-bd)+(ad+bc)i$.

找到兩個複數的差很簡單，只要記住將負號分配給數字的兩部分，但除法要複雜一些。你必須使用一個小技巧將分數的底部分變成一個實數

${\frac {a+bi}{c+di}}=\left({\frac {a+bi}{c+di}}\right)1=\left({\frac {a+bi}{c+di}}\right)\left({\frac {c-di}{c-di}}\right)={\frac {(ac+bd)+(-ad+bc)i}{(c^{2}+d^{2})-(cd-cd)i}}=\left({\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}\right)+\left({\frac {-ad+bc}{c^{2}+d^{2}}}\right)i$.

兩個複數的加法可以透過構建平行四邊形來進行幾何表示。

2+i（藍色三角形）和 3+i（紅色三角形）的乘法。將紅色三角形旋轉到與藍色三角形的頂點一致，然後按√5（藍色三角形斜邊的長度）的比例進行拉伸。

我們將複數 $c-di$ 稱為 $c+di$ 的共軛複數，它是我們在分式技巧中需要在分子和分母上乘以的數。

類似於實數，複數也有自然的幾何解釋 - 它們可以被看作平面上的點。複平面的標準表示是將實數軸水平放置，並將實數倍的 $i$ 軸垂直放置，$i$ 在實數軸上方，$-i$ 在實數軸下方。從幾何上看，兩個複數的和可以與兩個向量的和一樣構建 - 畫一個平行四邊形，其中兩條邊從原點（即 0）到要加的兩個數。平行四邊形與原點相對的點是這兩個複數的和。乘法的規則稍微複雜一些：首先，為每個要乘的數構建一個直角三角形，其中一個頂點在原點，一個在複數的端點，一個在實軸上（在表示複數實部的點處）。旋轉其中一個三角形，直到與實軸平行的邊與另一個三角形的斜邊平行，然後將其按另一個三角形的斜邊長度進行縮放。該三角形的頂點表示這兩個複數的積。

當我們將複數解釋為平面上的點（或向量）時，引入絕對值的概念就很有意義，我們將像對實數那樣精確地定義它：一個數到 0 的距離。複數的絕對值也稱為它的模數。注意，這裡有一個複雜之處：大多數情況下，複數位於對角線上，因此我們必須使用勾股定理來找到這個距離。例如，

$|1+i|={\sqrt {(1)^{2}+(1)^{2}}}={\sqrt {2}}$.

共軛複數在這裡非常有用。正如我們在除法規則中所看到的，複數與其共軛的積總是實數。更重要的是，它等於複數絕對值的平方。因此，我們可以簡單地將複數乘以其共軛，然後取平方根來找到其絕對值。下面是關於為什麼這種方法在代數上有效的簡短演示

$(a+bi)(a-bi)=a(a-bi)+bi(a-bi)=a^{2}-abi+abi-b^{2}i^{2}=a^{2}-b^{2}(-1)=a^{2}+b^{2}$.

看看你是否能夠自己想出幾何證明。注意，取一個數的共軛複數相當於將其在實軸上進行反射。