幾何代數物理/相對論經典力學/洛倫茲變換

洛倫茲變換是一種線性變換，它保持了雙向量的長度。洛倫茲變換包括旋轉和提升作為適當的洛倫茲變換，以及反射和非正時變換作為不適當的洛倫茲變換。

一個適當的洛倫茲變換可以寫成旋量形式：

$p\rightarrow p^{\prime }=LpL^{\dagger },$

其中旋量 $L$ 滿足單模條件：

$L{\bar {L}}=1$

在 $Cl_{3}$ 中，旋量 $L$ 可以寫成雙向量的指數：

$L_{{}_{}}=e^{W}$

旋轉

如果雙向量 $W$ 僅包含一個雙向量（$Cl_{3}$ 中的復向量），則洛倫茲變換是在雙向量平面上的旋轉：

$R=e^{-i{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\theta }}}$

例如，以下表達式表示一個旋轉器，它在方向 $\mathbf {e} _{3}$ 周圍應用了一個旋轉角 $\theta$，按照右手定則：

$R=e^{-{\frac {\theta }{2}}\mathbf {e} _{12}}=e^{-i{\frac {\theta }{2}}\mathbf {e} _{3}},$

將該旋轉子應用於沿 $\mathbf {e} _{1}$ 的單位向量，得到了預期的結果。

$\mathbf {e} _{1}\rightarrow e^{-i{\frac {\theta }{2}}\mathbf {e} _{3}}\mathbf {e} _{1}e^{i{\frac {\theta }{2}}\mathbf {e} _{3}}=\mathbf {e} _{1}e^{i{\frac {\theta }{2}}\mathbf {e} _{3}}e^{i{\frac {\theta }{2}}\mathbf {e} _{3}}=\mathbf {e} _{1}e^{i\theta \mathbf {e} _{3}}=\mathbf {e} _{1}(\cos(\theta )+i\mathbf {e} _{3}\sin(\theta ))=\mathbf {e} _{1}\cos(\theta )+\mathbf {e} _{2}\sin(\theta )$

旋轉子 $R$ 具有兩個基本性質。它被稱為單模和酉，使得

• 單模: $R{\bar {R}}=1$
• 酉: $RR^{\dagger }=1$

對於旋轉子，共軛和反轉具有相同的效果。

${\bar {R}}=R^{\dagger }.$

Boost

如果雙向量 $W$ 只包含一個實向量，那麼洛倫茲變換就是沿著相應向量方向的Boost。

$R=e^{{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\eta }}}$

例如，以下表達式表示沿著 $\mathbf {e} _{3}$ 方向的Boost。

$B=e^{{\frac {1}{2}}\eta \,\mathbf {e} _{3}},$

其中實標量引數 $\eta$ 是快度。

Boost $B$ 被認為是

• 單模：$B{\bar {B}}=1$
• 實數：$B^{\dagger }=B$

洛倫茲變換作為旋轉和增強變換的組合

一般來說，適當洛倫茲變換的旋量可以寫成增強變換和轉子的乘積

$L_{{}_{}}=BR$

增強因子可以提取為

$B={\sqrt {LL^{\dagger }}}$

並且轉子是從 $L$ 的偶數等級中獲得的

$R={\frac {L+{\bar {L}}^{\dagger }}{2\langle B\rangle _{S}}}$

根據所需的適當速度進行增強

靜止粒子的適當速度等於 1

$u_{r_{}}=1$

任何適當的速度，至少是瞬時的，都可以從靜止粒子進行主動洛倫茲變換得到，因此

$u=Lu_{r_{}}L^{\dagger },$

可以寫成

$u=LL^{\dagger }=BR(BR)^{\dagger }=BRR^{\dagger }B^{\dagger }=BB=B^{2},$

因此

$B={\sqrt {u}}={\frac {1+u}{\sqrt {2(1+\langle u\rangle _{S})}}},$

其中使用了單位長度引數向量的平方根的顯式公式。

速率和速度

適當速度是增強變換的平方

$u=B^{2^{}},$

因此

$\gamma (1+{\frac {\mathbf {v} }{c}})=e^{\boldsymbol {\eta }},$

將速率重寫為其大小與其相應單位向量乘積的形式

${\boldsymbol {\eta }}=\eta {\hat {\boldsymbol {\eta }}}$

指數可以展開為

$\gamma +\gamma {\frac {\mathbf {v} }{c}}=\cosh(\eta )+{\hat {\boldsymbol {\eta }}}\sinh(\eta ),$

因此

$\gamma _{{}_{}}=\cosh {\eta }$

以及

$\gamma {\frac {\mathbf {v} }{c}}={\hat {\boldsymbol {\eta }}}\sinh(\eta ),$

由此可見，在非相對論極限下，速率變為速度除以光速

${\frac {\mathbf {v} }{c}}={\hat {\boldsymbol {\eta }}}\eta$

應用於雙向量上的洛倫茲變換

應用於雙向量的洛倫茲變換與應用於對向量的洛倫茲變換形式不同。考慮一個用對向量表示的通用雙向量

$\langle u{\bar {v}}\rangle _{V}\rightarrow \langle u^{\prime }{\bar {v}}^{\prime }\rangle _{V}$

將洛倫茲變換應用於分量對向量

$\langle u^{\prime }{\bar {v}}^{\prime }\rangle _{V}=\langle LuL^{\dagger }\,\,{\overline {LvL^{\dagger }}}\rangle _{V}=\langle LuL^{\dagger }\,{\bar {L}}^{\dagger }{\bar {v}}{\bar {L}}\rangle _{V}=\langle Lu{\bar {v}}{\bar {L}}\rangle _{V}=L\langle u{\bar {v}}\rangle _{V}{\bar {L}},$

因此，如果 $F$ 是一個雙向量，則洛倫茲變換由下式給出

$F\rightarrow F^{\prime _{}}=LF{\bar {L}}$