使用幾何代數的物理學/相對論經典力學/時空位置

時空位置 $x$ 可以用一個超向量編碼

$x=x^{0}+\mathbf {x} ,$

其中時空位置的標量部分用時間表示

$x^{0}=ct_{{}_{}}.$

固有速度 $u$ 定義為時空位置對固有時間 $\tau _{{}_{}}$ 的導數

$c\,u={\frac {dx}{d\tau }}$

固有速度可以用速度表示

$c\,u={\frac {dx^{0}}{d\tau }}+{\frac {d\mathbf {x} }{d\tau }}=\gamma \left(1+{\frac {d\mathbf {x} }{dx^{0}}}\right)=\gamma \left(1+{\frac {\mathbf {v} }{c}}\right),$

其中

$\gamma ={\frac {dx^{0}}{d\tau }}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {v} ^{2}}{c^{2}}}}}}$

當然還有

$\mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {x} }{dt}}.$

固有速度是單模的

$u{\bar {u}}=1$

時空動量

時空動量是一個用固有速度定義的超向量

$p_{{}_{}}=mcu$

時空動量包含能量作為標量部分

$p=mc(\gamma +\gamma {\frac {\mathbf {v} }{c}})={\frac {E}{c}}+\mathbf {p} ,$

其中能量 $E$ 定義為

$E_{{}_{}}=\gamma mc^{2}$

時空動量的殼條件是

$p{\bar {p}}=(mc)^{2}$