使用幾何代數的物理學/相對論經典力學/經典旋量

適當的速度可以用相關的洛倫茲變換旋量來表示，稱為特徵旋量。

特徵旋量的本徵時間導數可以用時空旋轉雙向量$\Omega$表示為

${\frac {d\Lambda }{d\tau }}={\frac {1}{2}}\Omega \Lambda$

時空旋轉雙向量包含粒子所受相互作用的資訊。

經典粒子的動力學可以用包含特徵旋量的微分方程來表示。

${\frac {dp}{d\tau }}=mc{\frac {d}{d\tau }}(\Lambda \Lambda ^{\dagger })=mc({\frac {d\Lambda }{d\tau }}\Lambda ^{\dagger }+\Lambda {\frac {d\Lambda ^{\dagger }}{d\tau }}),$

使用時空旋轉雙向量的定義

$mc{\frac {1}{2}}(\Omega \Lambda \Lambda ^{\dagger }+\Lambda \Lambda ^{\dagger }\Omega ^{\dagger })=mc\langle \Lambda \Omega \rangle _{\Re {}},$

最終得到動力學方程

${\frac {dp}{d\tau }}=mc\langle \Omega \Lambda \rangle _{\Re {}},$

其中力的作用現在由時空旋轉雙向量來扮演。

一旦時空旋轉被識別為電磁力，結果就是洛倫茲力的旋量形式。

${\frac {d\Lambda }{d\tau }}={\frac {e}{2mc}}F\Lambda$

恆定電場

洛倫茲力的特徵旋量形式可以在許多有趣的情況下解析求解。最簡單的情況之一是恆定電場的情況。如果電場沿著 z 方向，要解的方程是

${\frac {d\Lambda }{d\tau }}={\frac {e}{2mc}}E\mathbf {e} _{3}\Lambda$

解為

$\Lambda =e^{{\frac {e}{2mc}}E\mathbf {e} _{3}\tau }\Lambda _{0}.$

適當的速度計算為

$u=e^{{\frac {e}{2mc}}E\mathbf {e} _{3}\tau }u_{0}e^{{\frac {e}{2mc}}E\mathbf {e} _{3}\tau }.$

如果粒子從靜止開始，那麼適當的速度就簡化為

$u=e^{{\frac {e}{mc}}E\mathbf {e} _{3}\tau }.$

進一步積分得到時空位置

$x=x_{0}+{\frac {mc^{2}}{eE}}\mathbf {e} _{3}(e^{{\frac {e}{mc}}E\mathbf {e} _{3}\tau }-1)$