使用幾何代數的物理學/相對論經典力學/電磁場

電磁場根據電場和磁場定義為

$F=\mathbf {E} +ic\mathbf {B} .$

或者，可以從向量勢$A$匯出場，為

$F=c\left\langle \partial {\bar {A}}\right\rangle _{V+BV},$

其中

$\partial ={\frac {\partial }{\partial x^{0}}}-\nabla$

和

$A=\phi /c+\mathbf {A} .$

洛倫茲規範

洛倫茲規範（無 t）表示為

$\langle \partial {\bar {A}}\rangle _{S}=0$

電磁場$F$在規範變換下仍然是不變的

$A\rightarrow A^{\prime }=A+\partial \chi ,$

其中$\chi$是一個標量函式，它滿足以下條件

${\bar {\partial }}\partial \chi =0$

其中

${\bar {\partial }}={\frac {\partial }{\partial x^{0}}}+\nabla$

麥克斯韋方程組

麥克斯韋方程組可以用一個方程表示

${\bar {\partial }}F={\frac {1}{c\epsilon }}{\bar {j}},$

其中電流$j$是

$j=\rho c+\mathbf {j}$

將其分解為各部分，我們有：

• 實標量：高斯定律
• 實向量：安培定律
• 虛標量：沒有磁單極子
• 虛向量：法拉第電磁感應定律

電磁拉格朗日量

給出麥克斯韋方程的電磁拉格朗日量為：

$L={\frac {1}{2}}\langle FF\rangle _{S}-\langle A{\bar {j}}\rangle _{S}$

能量密度和坡印廷向量

能量密度和坡印廷向量可以從以下公式提取：

${\frac {\epsilon _{0}}{2}}FF^{\dagger }=\varepsilon +{\frac {1}{c}}S,$

其中，能量密度為：

$\varepsilon ={\frac {\epsilon _{0}}{2}}(E^{2}+c^{2}B^{2})$

而坡印廷向量為：

$S={\frac {1}{\mu _{0}}}E\times B$

洛倫茲力

電磁場充當時空旋轉的角色，其中：

$\Omega ={\frac {e}{mc}}F$

洛倫茲力方程變為：

${\frac {dp}{d\tau }}=\langle Fu\rangle _{V}$

或者等效地：

${\frac {dp}{dt}}=\langle F(1+v)\rangle _{V}$

而洛倫茲力在旋量形式下的表示為：

${\frac {d\Lambda }{d\tau }}={\frac {e}{2mc}}F\Lambda$

洛倫茲力拉格朗日量

給出洛倫茲力的拉格朗日量為：

${\frac {1}{2}}mu{\bar {u}}+e\langle {\bar {A}}u\rangle _{S}$

平面電磁波

傳播副向量定義為：

$k={\frac {\omega }{c}}+\mathbf {k} ,$

這是一個零副向量，可以用單位向量 $\mathbf {k}$ 來表示：

$k={\frac {\omega }{c}}(1+\mathbf {\hat {k}} ),$

產生左旋圓偏振平面波的向量勢是

$A=e^{is\mathbf {\hat {k}} }\mathbf {a} ,$

其中相位為

$s=\left\langle k{\bar {x}}\right\rangle _{S}=\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {x}$

而 $\mathbf {a}$ 定義為垂直於傳播向量 $\mathbf {k}$。此向量勢滿足洛倫茲規範條件。右旋螺旋度可以透過相位的相反符號獲得

此向量勢的電磁場計算為

$F=ickA_{{}_{}},$

它是一個冪零量

$FF_{{}_{}}=0$