微積分物理學/附錄 2/導數示例

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運動

對於 x(t)，位置作為時間的函式

速度：位置相對於時間的變化率

${\begin{matrix}\mathbf {v} (t)=f'(t)={dx \over dt}\end{matrix}}$

加速度：速度相對於時間的變化率

${\begin{matrix}\mathbf {a} (t)=\mathbf {v} '(t)=f''(t)={d^{2}x \over dt^{2}}\end{matrix}}$

加加速度：加速度相對於時間的變化率

${\begin{matrix}\mathbf {j} (t)=\mathbf {a} '(t)=f'''(t)={d^{3}x \over dt^{3}}\end{matrix}}$

加加速度在一年級運動中不常用。它的主要應用是在處理大型物體在由於質量變化而移動時改變重量的運動中。一個例子可能是從靜止狀態向上飛行的火箭。當它燃燒燃料時，它的重心發生變化，因此它的加速度不是恆定的（違反了牛頓第二定律）。

力學（靜力學）

給定梁的載入細節，我們可以在梁的圖上用箭頭表示力，彎曲箭頭表示力矩（對扭矩的抵抗），陰影區域表示普遍變化或分散式載荷。我們可以使用這個圖（通常稱為自由體圖）以及其中包含的資訊來繪製表示梁中剪力 (V) 的圖，並且還可以推匯出表示它們的方程。該方程可能不像多項式那麼簡單，並且通常是一系列連續函式，在樑上力發生的點處具有端點。

我們可以對梁的這些段進行不定積分，以獲取更多關於它的資訊。不定積分組合形成梁的彎矩圖。彎矩是一種特殊的力矩，因為梁最有可能在彎矩處於相對極值的地方發生故障。根據定義，任何不定積分都將包含一個常數，C。在彎矩圖的情況下，我們的 C 只是前一段的端點。唯一的例外是當我們有一個力矩時，我們根據方向新增或減去它的值。

因此，對彎矩模型求導將給出剪力。

對剪力模型求導將使我們回到載入圖，而對載入圖求導將給出梁在載入下撓度的形狀。

對於任何彎矩模型 b，作為距離梁端部 x 的函式，

${\begin{matrix}b'(x)&=&V(x)\\b''(x)&=&V'(x)&=&\operatorname {FBD} (x)\\b'''(x)&=&\operatorname {FBD} '(x)&=&f(x)\end{matrix}}$

其中 f(x) 是一個描述梁撓度的函式。