帶微積分的物理學/電磁學/電磁感應

電磁感應是指導體在磁場中運動時產生的電壓。

邁克爾·法拉第通常被認為是 1831 年發現感應現象的人。在 1830 年左右^[1]到 1832 年^[2]，約瑟夫·亨利也做出了類似的發現，但他直到後來才發表了他的發現。

細節

法拉第發現，在閉合路徑周圍產生的電動勢 (EMF) 與透過該路徑包圍的任何表面的磁通量變化率成正比。

在實踐中，這意味著當透過導體包圍的表面的磁通量發生變化時，任何閉合電路中都會感應出電流。無論磁場本身強度發生變化還是導體在磁場中移動，都適用。

電磁感應是發電機、所有電動機、變壓器、感應電機、同步電機、螺線管以及大多數其他電機運作的基礎。

法拉第電磁感應定律|法拉第電磁感應定律指出

{\mathcal {E}}=-{{d\Phi _{B}} \over dt},

因此

{\mathcal {E}}

是以伏特為單位的電動勢 (emf)

Φ_B 是以韋伯 (Wb)|韋伯為單位的磁通量

對於由 N 個具有相同面積的環組成的常見但特殊的線圈，法拉第電磁感應定律指出

{\mathcal {E}}=-N{{d\Phi _{B}} \over dt}

其中

{\mathcal {E}}

是以伏特為單位的電動勢 (emf)

N 是導線的匝數

Φ_B 是以韋伯 (Wb)|韋伯為單位的穿過單個迴路的磁通量。

法拉第定律的一個推論，連同安培定律和歐姆定律一起構成了楞次定律

感應在電路中的電動勢總是以這樣的方向作用，即它驅動的電流阻礙產生電動勢的磁通量的變化。

楞次定律中提到的方向可以被認為是上述公式中負號的結果。

法拉第電磁感應定律|法拉第電磁感應定律指出，感應電動勢是穿過導電迴路的磁通量隨時間的負變化率。

${\mathcal {E}}=-{{d\Phi _{B}} \over dt},$

其中 ${\mathcal {E}}$ 是以伏特為單位的電動勢 (emf) 以及 Φ_B 是以韋伯 (Wb)|韋伯為單位的磁通量。對於面積為 A、以角速度 $\omega$ 旋轉的恆定面積迴路，在均勻磁場 B 中，磁通量由下式給出

$\Phi _{B}=B\cdot A\cdot \cos(\theta ),$

其中 θ 是迴路法線和磁場方向之間的夾角。由於迴路以恆定速率 ω 旋轉，所以角度隨時間線性增加，θ=ωt，並且磁通量可以寫成

$\Phi _{B}=B\cdot A\cdot \cos(\omega t).$

對通量關於時間求負導數得到電動勢。

${\mathcal {E}}=-{\frac {d}{dt}}\left[B\cdot A\cdot \cos(\omega t)\right]$	用導數表示的電動勢
$=-B\cdot A{\frac {d}{dt}}\cos(\omega t)$	將常數 (A 和 B) 放在導數之外
$=-B\cdot A\cdot (-\sin(\omega t)){\frac {d}{dt}}(\omega t)$	應用鏈式法則並對外函式（餘弦）進行微分
$=B\cdot A\cdot \sin(\omega t){\frac {d}{dt}}(\omega t)$	消去兩個負號
$=B\cdot A\cdot \sin(\omega t)\omega$	計算剩餘的導數
$=\omega \cdot B\cdot A\sin(\omega t).$	化簡。