帶微積分的物理學/電磁學/場能

取自： https://en.wikipedia.org/wiki/Electrostatics#Electrostatic_energy

單個 測試粒子的勢能，$U_{\mathrm {E} }^{\text{single}}$，可以從 線積分計算工作，$q_{n}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {\ell }}$。我們從無窮遠點積分，並假設一個集合 $N$ 個電荷為 $Q_{n}$ 的粒子，已經位於點 ${\vec {r}}_{i}$。這種勢能（以 焦耳為單位）是

$U_{\mathrm {E} }^{\text{single}}=q\phi ({\vec {r}})={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {Q_{i}}{\left\|{\mathfrak {\vec {r}}}_{i}\right\|}}$

其中 ${\vec {\mathfrak {r}}}_{i}={\vec {r}}-{\vec {r}}_{i},$ 是每個電荷 $Q_{i}$ 到 測試電荷 $q$ 的距離，該測試電荷位於點 ${\vec {r}}$，而 $\phi ({\vec {r}})$ 是如果不存在 測試電荷，則在 ${\vec {r}}$ 處的電勢。如果只有兩個電荷存在，則勢能為 $k_{e}Q_{1}Q_{2}/r$。由 N 個電荷集合產生的總 電勢能 是透過 一次組裝一個 這些粒子來計算的

$U_{\mathrm {E} }^{\text{total}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}Q_{j}\sum _{i=1}^{j-1}{\frac {Q_{i}}{r_{ij}}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}Q_{i}\phi _{i},$

其中，從 *j = 1* 到 *N* 的求和不包括 *i = j*。

$\phi _{i}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{j=1(j\neq i)}^{N}{\frac {Q_{j}}{4\pi \varepsilon _{0}r_{ij}}}.$

這個電勢，$\phi _{i}$ 是在 ${\vec {r}}_{i}$ 處測量的，如果電荷 $Q_{i}$ 不存在。這個公式顯然不包括組裝每個點電荷所需的（無限）能量，這些電荷是從一個分散的電荷雲中組裝起來的。可以使用處方 $\sum (\cdots )\rightarrow \int (\cdots )\rho \mathrm {d} ^{3}r$ 將電荷的求和轉換為對電荷密度的積分。

$U_{\mathrm {E} }^{\text{total}}={\frac {1}{2}}\int \rho ({\vec {r}})\phi ({\vec {r}})\operatorname {d} ^{3}r={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \left|{\mathbf {E} }\right|^{2}\operatorname {d} ^{3}r$,

這個 靜電能 的第二個表示式利用了電場是電勢負 梯度 的事實，以及以類似於 分部積分 的方式使用 向量微積分恆等式。這兩個電場能量積分似乎表明了靜電能密度的兩個相互排斥的公式，即 ${\frac {1}{2}}\rho \phi$ 和 ${\frac {\varepsilon _{0}}{2}}E^{2}$；只有當兩者都對整個空間積分時，它們才對總靜電能產生相同的值。