帶微積分的物理/電磁學/高斯定律

基本理論

高斯定律將包含在體積內的電荷量與穿過該體積表面上的電通量聯絡起來。它是由18世紀的數學家卡爾·弗里德里希·高斯提出的。電通量只能真正用數學來描述，但它也具有直觀的意義。從本質上講，電通量是穿過表面的“電場”量。想象一個浸在流動的河流中的籠子，籠子是網狀的，以便水能夠相當不受阻礙地流過它。“通量”是在任何一個時刻穿過籠子表面的水量。在本討論中，我們不關心隨時間變化的電場，因此認為電通量在時間上是恆定的。

在使用高斯定律時，我們建立了一個稱為“高斯面”或簡稱“高斯”的東西。高斯是一個完全封閉的假想表面。

電通量（通量：場線流動）Φ：有多少場穿過表面S。均勻場（平行場線）Φ=E A cos (theta) 其中theta是場線方向與表面法線方向之間的夾角。

   $\Phi _{f}=\int _{S}\mathbf {F} \cdot \mathbf {dA}$

其中F是向量場，dA是表面S的面積元素，方向為表面法線，Φf是得到的通量。對於包圍場發生器的表面

高斯定律

   $\Phi =\oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={1 \over \epsilon _{o}}\int _{V}\rho \cdot dV={\frac {Q_{A}}{\epsilon _{o}}}$

其中$\mathbf {E}$是電場，$d\mathbf {A}$是閉合表面上微小正方形的面積$S$表面法線向外定義其方向，$\mathrm {Q} _{A}$是被表面包圍的電荷，$\rho$是V中某一點處的電荷密度$V$, $\epsilon _{o}$是自由空間的介電常數，$\oint _{S}$是在包圍體積的表面上的積分$S$包圍體積$V$.