帶微積分的物理/電磁學/麥克斯韋方程

因此，為了統一我們到目前為止關於電和磁的所有內容，我們將把麥克斯韋方程一起寫出來。麥克斯韋方程一起描述了所有經典電動力學。

首先我們有高斯定律

$\oint _{S}{\vec {E}}\cdot d{\vec {A}}={\frac {Q_{encl}}{\epsilon _{0}}}$.

磁場的高斯定律是

$\oint _{S}{\vec {B}}\cdot d{\vec {A}}=0$.

安培定律是

$\oint _{C}{\vec {B}}\cdot d{\vec {s}}=\mu _{0}I_{encl}$.

最後，法拉第定律是

$\oint _{C}{\vec {E}}=-{\frac {d\Phi _{B}}{dt}}$.

然而，想象一個平行板電容器。如果我們在導線上應用安培定律，並取一個表面使導線穿過它，我們會得到一個答案。但是，如果我們取一個表面使它穿過平行板之間，我們得到表面積分是 0！我們必須修改我們的定律。麥克斯韋增加了一個術語，它本質上意味著當電荷累積時，電流已經流入——電荷守恆。這表現為安培定律中的一個新項（你實際上可以證明為了使電荷守恆，這是唯一合法的和可測量的項）

$\oint _{C}{\vec {B}}\cdot d{\vec {s}}=\mu _{0}I_{encl}+\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {d\Phi _{E}}{dt}}$.

看看這些方程；有兩個輪廓積分方程和兩個曲面積分方程。安培-麥克斯韋定律和法拉第定律都包含相反場通量的導數。不難想象，如果我們有磁荷，麥克斯韋方程將是完全對稱的，直到項前面的常數。

此外，我們可以將格林定理應用於麥克斯韋方程，並獲得它們的另一種形式

$\nabla \cdot E={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

$\nabla \cdot B=0$

$\nabla \times E+{\frac {\partial B}{\partial t}}=0$

$\nabla \times B-\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial E}{\partial t}}=\mu _{0}J$.

亥姆霍茲定理指出，一個函式由它的散度、旋度和適當的邊界條件唯一定義。如果我們對該定理稍加修改，我們可以證明麥克斯韋方程完全指定了所有電磁現象。