帶微積分的物理學/電磁學/電壓

為了發展電勢（或電壓），從原點處單個點電荷 Q，電荷為 q 開始。電場為

$E={\frac {kQ}{r^{2}}}{\hat {r}}$.

該函式的旋度很容易證明為零，根據向量微積分中的一個著名定理，如果一個函式的旋度在一個空間區域內消失，那麼該函式可以寫成一個標量的梯度。因此，存在一個標量場 $\phi$，使得

$E(\mathbf {r} )=-\nabla \phi (\mathbf {r} )$.

接下來我們找到場在將測試粒子 q 從點 $\mathbf {a}$ 移動到 $\mathbf {b}$ 時所做的功。y 力場 $\mathbf {F} =q\mathbf {E}$。如果你不瞭解向量微積分，你可以跳過這一段，只記住結果，但我建議你學習向量微積分（散度、梯度和旋度），因為所有電磁學都是用向量微積分符號寫成的。E 的旋度為零（你可以這樣做）。這意味著 E 可以寫成某個標量函式的梯度，我們稱之為 $\phi$。根據微積分基本定理（對於梯度），

$\int q\nabla \phi (x,y,z)\cdot d{\mathbf {r} }=q\phi +C$,

其中 C 是一個任意常數。這表明電力的功僅僅是 $\phi$ 變化乘以電荷。這聽起來應該很熟悉 - $q\phi$ 就是勢能！我們在一個點上指定 $\phi$，它唯一地確定 $\phi$，這與為重力勢能選擇一個零完全相同。按照慣例，我們說 $\phi (\inf )=0$，但這並不總是真的，如果電荷延伸到無窮大。然而，這隻發生在虛假的教科書問題中，因此在現實生活中，說 $\phi$ 在無窮遠處下降到零總是安全的。我們可以選擇一個參考點，因為我們只關心電勢能的差異；沒有物理方法來確定 C，所以我們不關心它是什麼。

將此推廣到除點電荷之外的任何東西都很容易。它只是許多點電荷的疊加，我們的結果對任何分佈都成立。

現在，按照慣例，我們說 $\nabla \phi$ 是負 E，因為這意味著物體移動到更低的電勢，並且它抵消了其他地方的負號。注意這一點，並跟蹤你的負號。

為了將此應用於庫侖定律，我們只需要對電場積分即可得到電勢。我們加上一個負號作為約定，我們有，

$\phi _{pointsource}={\frac {kq}{r}}$.

多麼簡單。

使用電勢有兩個主要優勢。第一個是它將在我們以後想要求解麥克斯韋方程時派上用場，但第二個原因是它是標量而不是向量。記住一個分量比記住三個分量容易得多。你找到電荷分佈的電勢，然後求 E 場就和求導一樣容易。

電勢是一個有趣的東西，因為它是一個標量函式，但卻能唯一地代表一個向量函式 E，而 E 的數字是它的三倍！這恰好是因為電場的三個分量並非獨立的，因為它們是圍繞點電荷徑向對稱的，所以旋度為零。這個約束條件恰好足以告訴我們，只需要一個數字就能代表 E 的所有三個分量。

我想指出，電勢只能在電荷靜止的情況下使用（無需修改）。如果它們移動，那麼如果一個粒子繞圓周運動，它最終可能會比它之前擁有的能量更多！