帶微積分的物理/導論/獻給數學家

數學是一門美妙的學科。然而，數學家們往往只關注理論數學，但這本書可以幫助我們認識到數學的奇妙應用，在本例中是微積分。——M教授

雖然物理學通常被認為是“應用數學”課程，但物理學和數學之間的關係遠比將數學應用於物理世界更有趣。在物理學和數學的發展過程中，一個領域裡的創新往往會推動另一個領域裡的新創新。一個有趣的例子是，當牛頓想要驗證他的萬有引力理論時，他發現了一個重大問題。他的 萬有引力定律 計算了兩個相互作用物體之間的力，就好像兩個物體的所有質量都集中在物體中心的點上一樣。牛頓面臨著一個嚴重的問題。他如何證明一個擴充套件物體的全部質量真的可以被認為集中在該物體的中心點上？這需要一種新的數學方法，而 積分學 就應運而生了。這說明，從歷史上看，發展數學的動機往往源於實際問題。往往要到後來，數學的所有理論方面才得以闡明。雖然牛頓通常被認為是微積分的發明者，但很明顯，他往往更熱衷於發展能夠解決他科學問題的數學模型，然後用理論方法證明他的數學假設。將微積分建立在與幾何學和其他數學分支一樣堅實的理論基礎上，則是由他之後的其他人完成的。

數學上的創新往往也會推動科學上的新發現。一個有趣的例子是 分形 的研究。當它們第一次被研究時，還沒有任何實際用途，但現在物理學和其他科學領域在研究已知為 混沌 的系統時，都會用到它們。

那麼，為什麼數學家會想要學習物理學呢？這個問題的一個強有力的答案似乎是，它有助於人們洞察許多偉大思想家的思想。是什麼激勵了他們？他們在發展自己的思想時遇到了哪些挑戰？他們往往會求助於數學作為表達他們的思想和解決他們的問題的語言。學習數學加強了科學家的工具，而學習科學則使我們對數學的理解更加豐富。