帶微積分的物理/力學/質心

當你扔一個球時，球是由許多相互作用的原子組成的，它遵循拋物線軌跡絕非顯而易見，即使單個粒子是如此。我們甚至如何理解球遵循拋物線軌跡？是否存在某個特殊的點來遵循？我們將證明確實存在一個特殊的點，稱為質心，並且我們將證明牛頓定律從非常小到非常大都具有驚人的適用性。

令$r_{i}$ 為從原點到第 i 個粒子的向量。令$m_{i},v_{i},f_{i}$ 分別為第 i 個粒子的質量、速度和力。為了檢視是否存在任何特殊的點，定義一個任意向量 R。現在，每個$r_{i}$ 可以寫成$r_{i}'+R$。將牛頓第二定律應用於每個粒子，

$f_{i}=m_{i}{\frac {dv_{i}}{dt}}$.

但是

$v_{i}={\frac {dr_{i}'}{dt}}+{\frac {dR}{dt}}=v_{i}'+V$.

（最後一個等式僅僅是定義）。所以

$f_{i}=m_{i}{\frac {dv_{i}'}{dt}}+m_{i}{\frac {dV}{dt}}$.

求和，

$F=\sum _{i}f_{i}={\frac {d}{dt}}\sum _{i}m_{i}v_{i}'+M{\frac {dV}{dt}}.$

當求和的導數為零時，這將呈現出最簡單的形式，實際上是粒子牛頓第二定律的形式。現在，當求和為常數時，導數為零。也就是說，

$\sum _{i}m_{i}{\frac {dr_{i}'}{dt}}=P$.

其中 P 是一個常數。因此，

$\sum _{i}m_{i}r_{i}'=Pt+C$

其中 C 是一個常數。代入 R 的定義，

$\sum _{i}m_{i}R-\sum m_{i}r_{i}=Pt+C$.

這等價於

$R={\frac {1}{\sum _{i}m_{i}}}\sum _{i}m_{i}r_{i}+{\frac {1}{\sum _{i}m_{i}}}Pt+{\frac {1}{\sum _{i}m_{i}}}C$.

我們不希望 R 依賴於時間，因此取 P = 0（這是允許的，因為 P 是積分常數）。由於 C 是任意的，並且我們想要最簡單的形式，因此取 C = 0。雖然取它不為零沒有太大害處，但它會非常麻煩。

因此，當

$R={\frac {1}{\sum _{i}m_{i}}}\sum _{i}m_{i}r_{i}$.

方程的形式變得特別簡單時，我們將其定義為質心向量。它具有非常重要的性質，即整個系統遵循

$F=M{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}$

其中

$F=\sum _{i}f_{i}$

以及

$M=\sum _{i}m_{i}.$

也就是說，無論系統多麼複雜，整個系統都表現得像一個位於質心的質量為 M 的單個粒子！

另一個有趣的性質來自於我們可以將作用在每個粒子上的力分解

$\sum f_{i}=\sum _{i}f_{i}^{external}+\sum _{i,j}f_{ij}$

其中 $f_{ij}$ 是第 j 個粒子對第 i 個粒子的作用力。根據牛頓第三定律，右側的整個第二項求和抵消。因此，F 是外力的總和——靜止的物體不能自行加速。質心的運動完全由外力決定。這有一些非常有趣但直觀的結論。這意味著如果你在深空，無論你做什麼，你都永遠無法移動。同樣，如果你在一個非常光滑的溜冰場上，除了扔東西之外，你什麼也做不了。那麼火箭是如何離開地球的呢？它們向後噴出廢氣——它留下了大量的質量，因此質心保持不變。

現在，我們剛剛證明了牛頓定律奇蹟般地從單個粒子擴充套件到多個粒子。但是，如果你仔細想想，如果牛頓定律不擴充套件，他可能就不會發現這些定律——他是在觀察大量粒子（例如彈珠或日常生活中任何物體）時發現了這些定律。事實上，定律的擴充套件幾乎是一個必要條件！然而，雖然牛頓定律可以擴充套件，但它不必縮小。雖然如果它縮小，它會符合我們許多日常經驗，但它並沒有——非常小的領域是量子力學的領域。發現量子力學花費了這麼長時間的原因是它不能擴充套件；隨著所涉及的事物越來越大，其效應越來越小。