帶微積分的物理學/力學/萬有引力勢能

基本方程

為了建立一個小物體在行星上方的萬有引力勢能的基本方程，讓我們假設高度位移 h 比所涉及的行星半徑小得多。我們還將假設勢能 (PE) 在行星表面為 0。由此，我們得到

定義：基本萬有引力勢能方程

由於能量是力乘以距離，勢能是力乘以高度距離

${\begin{aligned}PE&=F_{g}h\\&=mgh\\\end{aligned}}$

其中 PE 是勢能，F_g 是萬有引力，g 是重力加速度，h 是起點和終點之間的高度差，m 是移動物體的質量。

由於重力是保守力，勢能的增加或減少與到達那裡的路徑無關。

真實方程

有時，上述方程不夠。雖然當 h 比行星半徑小得多時，這是一個方便的捷徑，但存在一個無論涉及的高度或重力加速度的變化如何，都準確的方程。

假設一個物體移動，從距離行星中心 r₁ 的地方開始，移動到距離行星中心更遠的 r₂ 的地方。萬有引力做的功為

${\begin{aligned}W_{g}&={\frac {GMm}{r_{2}}}-{\frac {GMm}{r_{1}}}\\&=GMm\left({\frac {1}{r_{2}}}-{\frac {1}{r_{1}}}\right)\\\end{aligned}}$

由於勢能是功的負值，

${\begin{aligned}\Delta PE_{g}&=-W_{g}\\&=-GMm\left({\frac {1}{r_{2}}}-{\frac {1}{r_{1}}}\right)\\\end{aligned}}$

勢能的變化也可以寫成起始時的勢能減去結束時的勢能。

$PE_{2}-PE_{1}=-GMm\left({\frac {1}{r_{2}}}-{\frac {1}{r_{1}}}\right)$

萬有引力勢能的唯一可能的通用參考點是無窮遠。換句話說

$\lim _{r_{2}\to \infty }PE_{2}=0$

這意味著該方程會稍微簡化，因為 1 除以無窮大為 0

定義：萬有引力勢能的真實方程

$PE=-{\frac {GMm}{r}}$

這個方程是通用的，無論距離是長是短。但是，使用更簡單的方程通常仍然更方便，因為它既不需要物體到所涉及的行星核心的距離，也不需要所涉及的行星的質量。

另一個證明

由於萬有引力在上述示例中的位移過程中發生變化，因此該力所做的功是一個定積分

$dW={\vec {F}}dx\Rightarrow W=\int _{r_{1}}^{r_{2}}{\vec {F}}dx$

由於向內的萬有引力與位移方向相反，我們得到

${\begin{aligned}{\vec {F}}dr&=-//Fdr\\&=-{\frac {GMm}{r^{2}}}dr\\\end{aligned}}$

將此代入原始方程

${\begin{aligned}W&=//\int _{r_{2}}^{r_{1}}{\vec {F}}dr\\&=\int _{r_{2}}^{r_{1}}-{\frac {GMm}{r^{2}}}dr\\&=GMm\int _{r_{2}}^{r_{1}}-{\frac {1}{r^{2}}}dr\\&=GMm\ ]_{r_{2}}^{r_{1}}\\&=-GMm\left({\frac {1}{r_{2}}}-{\frac {1}{r_{1}}}\right)\\\end{aligned}}$

認識最後一步嗎？（如果不是，稍微向上滾動）這將我們帶回了引力勢能的真實方程。

逃逸速度

為了讓物體永久地遠離地球，我們希望最終的引力勢能變為零。然而，為了找到它的最小發射速度，我們希望當引力勢能變為零時物體的速度也為零。這意味著最終的動能和引力勢能都應該為零。由於能量守恆

${\begin{aligned}KE_{0}+PE_{0}&=KE+PE\\{\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {GM_{E}m}{r_{E}}}&=0+0\\\end{aligned}}$

隔離 v

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}mv^{2}&={\frac {GM_{E}m}{r_{E}}}\\mv^{2}&={\frac {2GM_{E}m}{r_{E}}}\\v^{2}&={\frac {2GM_{E}}{r_{E}}}\\v&={\sqrt {\frac {2GM_{E}}{r_{E}}}}\\\end{aligned}}$

這就是逃逸速度的公式。代入 G、M_E 和 r_E 的值

${\begin{aligned}v&={\sqrt {\frac {2(6.67*10^{-11})(5.98*10^{24})}{6.37*10^{6}}}}\\&=1.12*10^{4}{\frac {m}{s}}\\\end{aligned}}$