帶微積分的物理學/力學/萬有引力
萬有引力既是使物體墜落的力，也是使行星繞軌道執行的力，這似乎是顯而易見的，但事實上，萬有引力可以解釋這兩種運動，這可以追溯到 17 世紀的艾薩克·牛頓。他證明，墜落物體的加速度和月球繞軌道執行的加速度都可以用任何兩個物體之間存在的吸引力來解釋，該吸引力由以下公式給出：
其中 和 是兩個物體的質量， 是它們之間的距離，G 是一個基本常數，後來測得等於 。負號表示萬有引力是吸引力。
萬有引力的一個有趣特徵是，上述的引力質量 在數量上與出現在 中的慣性質量完全相同。阿爾伯特·愛因斯坦注意到了這種巧合，這使他得出了目前最成功的萬有引力理論，即廣義相對論。儘管萬有引力看起來很簡單，但在根本層面上，我們仍然沒有理解它。廣義相對論與稱為標準模型的粒子物理學量子理論不相容。許多物理學家試圖建立一個萬有引力量子理論，但尚未獲得連貫的理論或經實驗驗證的預測。我們在本課程中學習的牛頓萬有引力理論仍然是預測從星系到原子大小的物體的運動的有力工具，其中包括地球上大多數與日常生活相關的物體。在牛頓理論中，萬有引力僅僅是物質的一種性質，它導致每個質量以上述給出的力吸引每個其他質量。
萬有引力是一個保守力，這意味著將一個小物塊從一個點移動到另一個點所做的功僅取決於終點，而與所走的路徑無關。我將用一個點質量來證明這一點。有了這個結果，幾乎很明顯，任何質量排列的力也將是保守力。要看到這一點，請注意，萬有引力是各部分之和，一個力所做的功是其各部分所做功的總和。因此，當一個測試粒子透過一個施加萬有引力的粒子排列移動時，如果每個粒子所做的功僅取決於終點，那麼總和也僅取決於終點，這就是我們想要證明的。現在，考慮在原點處有一個質量為 M 的單粒子，以及一個從 A 移動到 B 的質量為 m 的測試粒子。為了簡化計算，假設連線 A 和 B 的路徑位於 xy 平面，儘管該論證可以很容易地但相當繁瑣地擴充套件到 3 維。現在，在極座標系中工作更容易。
當粒子移動一個小的距離 ds 時，所做的功只由作用在 r 方向上的力完成，因此只有 r 方向的運動很重要。由於這對於小距離來說是完全成立的，因此它對於大距離也成立，所做的功只能取決於粒子在 r 中如何移動。也就是說，我們可以忽略 。現在，如果粒子在一個方向上移動一個小距離 dr，然後過了一會兒，在相同半徑上，在另一個方向上移動，則功會抵消，因為力和位移都是相同的。這意味著功與路徑無關，萬有引力是保守力！
由於萬有引力是保守力，您可以看到我們可以定義一個位置函式，使得從 a 移動到 b 所做的功只是該函式在 a 處的函式值減去在 b 處的函式值。這樣的函式被稱為勢能——與您已經知道的勢能相同！如果相反，我們再退一步，除以質量 m，那麼我們得到一個與所討論的粒子無關的函式，我們稱之為勢。現在，看看勢的一些性質會很有用。
首先，勢 的定義性質是，如果將一個質量為 m 的粒子從 a 點移動到 b 點，沿著任何路徑移動，那麼所做的功為
.
現在，為了找到勢的其他重要性質，考慮將一個質量為 m 的粒子在力場 F 中移動一小段距離 。在 x 方向上移動所做的功為
y 和 z 方向也有類似的表示式。
除以 dx 並讓 dx 趨於零，我們有，
也就是說，將 對 x 求偏導數，並將 y 和 z 看作常數。
如果我們對 y 和 z 做同樣的操作，我們有
.
倒三角只是第一個表示式的簡寫符號。
這太神奇了 - 關於力的所有資訊，一個向量，都被包含在一個標量中。三元分量只用一個量來表示。我們之所以能夠做到這一點，是因為我們知道力是保守的，正如你所看到的，這極大地限制了可能的場數。在單維的情況下，你可以看到力是勢能的導數。事實上，梯度（對每個變數求偏導數並將它們組成一個向量）是導數在多維空間上的推廣之一。
現在很容易看到勢能的最後一個重要特性，即它在加法常數上是唯一的。如果你添加了一個依賴於任何變數的函式，那麼至少一個偏導數將不為零，你將得到不同的力。但是，如果你新增任何常數，你將得到相同的力，因為常數的導數為零。