帶有微積分的物理學/力學/簡諧運動、波和聲音

簡諧運動

如果物體的加速度與其距固定點的位移成正比，並且始終指向該點，則該物體執行簡諧運動。

為了探索簡諧運動（SHM），讓我們以一個沒有重力作用的彈簧和質量為例（有趣的是，即使在重力存在的情況下，你也會得到 SHM）。如果這是我們的理想彈簧，則力為 $~kx$，其中 $~k$ 是彈簧剛度的度量，而 $~x$ 是位移。如果那是彈簧的平衡位置，則力指向原點，所以我們寫 $~-kx$ 來提醒自己這一點。現在，牛頓第二定律變為

$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx$.

這個微分方程很容易求解，答案是 $~Acos(\omega _{0}t+\phi )$，其中 $~A$ 和 $~\phi$ 是任意常數，而 $~\omega _{0}={\sqrt {k/m}}$。我們並不關心我們是如何得到解的，因為我們是物理學家，而不是數學家。這是我們預期的答案，所以我們嘗試一下，結果發現，它奏效了。如果你不相信我，把它代入就行了。此外，這是完整的解，你必須相信我，因為它稍難證明。

不失一般性，我們將取 $~\phi$（也稱為相移）為零（如果你擔心這一點，我們只是定義了 $~t=0$ 的位置）。

現在，我們注意到解的一個顯著特點是頻率（弧度/秒），$~\omega _{0}$ 獨立於 $~A$。也就是說，無論振盪有多大，頻率都是一樣的。擺錘大約會經歷 SHM，所以這就是為什麼它們被用於鐘錶中的原因，振幅不會影響週期！順便說一下，我們在歐米茄上添加了下標零，因為我們很快就會有一些其他的歐米茄。

要記住的一些術語是頻率，f（每秒週期）= $~\omega _{0}/(2\pi )$ 和週期，T = $~1/f$。這些並不那麼重要，但通常人們會指定頻率或週期而不是角頻率，所以它們可能會有所幫助。

現在，要得到速度，對位置求導，要得到加速度，對速度求導。我們有：

$~v=A\omega _{0}sin(\omega _{0}t)$ 和 $~a=-A\omega _{0}^{2}cos(\omega _{0}t)=-\omega _{0}^{2}x$.

現在，我們還沒有說明 $~A$ 是什麼。事實證明，它取決於問題本身或初始條件。我們可以說振盪器在某個 t 時刻的速度或位置是某個值，然後利用 $~v$ 或 $~a$ 的表示式來求 $~A$。如果你想的話，也可以對相位做同樣的操作，但會比較繁瑣，而且沒有太多啟示。

請注意，振盪的最大速度出現在平衡位置 $~(x=0)$。我們可以繼續得出類似的結論，但如果你將位置、速度和加速度繪製在同一個圖表上，所有這些結論都將變得非常明顯。

阻尼

自由振盪的物體以其固有頻率振盪。如果它不損失能量，它將永遠振盪下去。阻尼是指振盪質量損失能量的過程。阻尼有三種類型

1) 輕阻尼 - 振幅隨時間逐漸減小

2) 重阻尼 - 質量會超過 0 位移

3) 臨界阻尼 - 位移在不發生振盪的情況下減小到 0。

阻尼的原因是摩擦力，例如汽車懸掛系統

讓我們試著量化一下。假設存在一個與速度成正比的摩擦力（在許多情況下，這都是一個很好的近似），比例常數為 c。然後，根據牛頓第二定律，

$~m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+c{\frac {dx}{dt}}+kx=0$.

這個方程比沒有摩擦的情況下要難解一些。我們將使用一個非常巧妙的技巧，你會在整個物理學中以及遇到類似方程時都用到它。請注意，如果 $~x$ 是一個解，而 $~y$ 也是一個解，那麼 $~ax+by$ 也是一個解，其中 $~a$ 和 $~b$ 是常數（實數或複數）。這個性質意味著該方程被稱為“線性”。我們知道 $~e^{ix}=cos(x)+isin(x)$。假設 $~x$ 為 $~Ae^{i\omega t}$。然後我們只需要取 $~x$ 的實部，因為方程是線性的，但指數比正弦和餘弦要容易處理得多，我們就得到了答案。運動方程變為

$~(-m\omega ^{2}+i\omega c+k)e^{i\omega t}=0$

所以，

$~(m\omega ^{2}-i\omega c-k)=0$ 或 $~\omega _{0}=ic/2m\pm {\sqrt {(c/m)^{2}/4-k/m}}$。

定義 $~\gamma =c/m$，並記住 $\omega _{0}^{2}=k/m$

$~\omega =i\gamma /2\pm {\sqrt {-\gamma ^{2}/4+\omega _{0}^{2}}}$.

定義 $~\omega _{\gamma }={\sqrt {-\gamma ^{2}/4+\omega _{0}^{2}}}$，我們得到一般解

$~Ae^{-\gamma /2+i\omega _{\gamma }}+Be^{-\gamma /2-i\omega _{\gamma }}=e^{-\gamma /2}(Ae^{i\omega _{\gamma }}+Be^{-i\omega _{\gamma }})$.

我們只需要用尤拉公式取該式的實部，得到，

$~Ce^{-\gamma /2}cos(\omega _{\gamma }t+\phi )$,

其中 $~C$ 和 $~\phi$ 只是 $~A$ 和 $~B$ 的另一種表達方式。如果你想找到它們，可以找到，但它們不會有什麼幫助。注意，振盪器以不斷減小的振幅振盪，但不是以它的“自然”頻率振盪，而是以不同的頻率振盪。

可以想象，$~\omega _{\gamma }$ 是虛數，在這種情況下，整個解就是一個負指數！這被稱為臨界阻尼，當它僅僅變成指數而不是振盪運動時。

波

我們都見過水波，比如池塘或水坑裡的漣漪。雖然波從一個點移動到另一個點，但水本身並沒有跟著移動。那麼，波是什麼呢？它們有點難以定義，但它們存在於整個物理學中——水波、地震波、聲波、光波等等。波通常以傳播自身為特徵；如果你讓波單獨存在，它會繼續前進。但我們已經有了例外，因為有些材料會吸收波，所以它不一定會繼續前進。此外，波通常透過介質傳播，介質是物質的一種花哨的名稱。水波在水中傳播，聲波在空氣中（或幾乎任何其他物質中）傳播。然而，光似乎不在介質中傳播，而是透過空曠的空間傳播。因此，波似乎甚至不需要任何東西來傳播。無論如何，與其四處詢問試圖弄清楚波究竟是什麼，不如讓我們嘗試說一些關於波的有用資訊。

首先，我們將介紹一個常見的波動方程（描述波如何運動的方程），它適用於真空中的電磁波、細繩上的小波以及小的聲波。然後我們將看看它的解，並嘗試理解一些波的原理。

$~\nabla ^{2}E={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial ^{2}t}}$

$~\nabla ^{2}E\equiv {\frac {\partial ^{2}E}{\partial ^{2}x}}+{\frac {\partial ^{2}E}{\partial ^{2}y}}+{\frac {\partial ^{2}E}{\partial ^{2}z}}$

$~E$ 可以是壓力、位移或電場的一個分量，或者其他東西，但無論如何，這是你在許多事物中得到的方程。

首先，讓我們看看一維方程。

$~{\frac {\partial ^{2}E}{\partial ^{2}z}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial ^{2}t}}$.

我會告訴你這個方程的解，因為那是我們關心的。證明它們是唯一解比驗證它們是解要難一些，但你必須相信我。我們並不真正關心如何得到解，因為我們是物理學家，不是數學家。

$~E=Af(x+ct)+Bg(x-ct)$

其中 $~A$ 和 $~B$ 是任意常數，而 $~f$ 和 $~g$ 是任意函式。有趣的是，$~f$ 和 $~g$ 是什麼並不重要！從物理學上講，這兩個項對應於以速度 c 向左和向右傳播的波。注意，如果我有兩個解，比如 $~E$ 和 $~E'$，則 $~aE+bE'$ 也是一個解，其中 $~a$ 和 $~b$ 是任意常數。這是該波動方程解最有用性質之一。此性質被稱為線性。

所以，我們知道關於波的一切，因為我們有波動方程的解，對吧？錯了。讓我們考慮這個方程的一些特別特殊的解，並研究一下它們。

$~Acos(-\omega t+kx+\phi )$

是一個解，只要

$~{\frac {\omega }{k}}=c$.

$~k$ 被稱為波數或波向量（當我們檢視三維解時它將是一個向量），$~\omega$ 被稱為頻率（以弧度每秒為單位測量，而不是每秒週期），$~\phi$ 被稱為相位移，以及 $~A$ 被稱為振幅。從物理上講，這對應於一個頻率為 $~k$ 的正弦波向右移動，每一點以頻率 $~\omega$ 上下移動。也就是說，$~k$ 是空間中的頻率，而 $~\omega$ 是時間上的頻率。$~c$ 在這種情況下被稱為相速度（我們將看到另一種速度，但對於這個特定方程，它恰好與這種速度相同）。

有些人喜歡用每秒週期來談論頻率，並給它一個特殊的名稱，$~f$。有些人喜歡談論波長，$~\lambda$，它只是 $~{\frac {2\pi }{k}}$ 並且是波峰到波峰的距離。相當明顯的是，$~\lambda f=c$ 因為 $~{\frac {\omega }{k}}=c$。有些人稱其為物理學中最重要或最美的關係之一，但我不同意。這真的不是那麼深刻，它只是告訴我們，如果每秒鐘有 $~f$ 個波峰經過我們，並且波峰到波峰的距離是 $~\lambda$，那麼波的速度就是 $~f\lambda$，這只是使用轉換因子。實際上它相當平淡無奇。

那麼，我們如何利用我們找到的這些解呢？當然，是創造新的解！我們已經知道，如果我們有兩個解，我們可以將它們加在一起得到另一個解。我們使用傅立葉分析，你會發現它幾乎出現在任何你發現線性系統的地方。事實證明，我們可以將任何週期函式，無論是否不連續，都寫成許多不同頻率的正弦波和餘弦波的總和。因此，我們通常透過找到不同分量的係數來根據邊界條件構建一個解。這是正弦波最牛的地方——它們加起來可以構成你想要的任何函式。

三維解

為了從一維推廣到三維，我們將 k 和 x 轉換為向量：$k\rightarrow {\vec {k}}$ 和 $x\rightarrow {\vec {r}}$。為了建立標量相位，我們需要取這兩個向量的點積。

$cos(-\omega t+kx+\phi )\rightarrow cos(-\omega t+{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}+\phi )$