帶微積分的物理學/力學/線性和旋轉類比

我們已經看到，將距離替換為角位移，速度替換為角速度，加速度替換為角加速度，所有運動學方程都將成立。這使我們考慮了力和動量以及能量的旋轉類比。

扭矩

力的旋轉類比是什麼？從日常經驗中，我們知道旋轉離軸線較遠的把手比靠近軸線的把手更容易。我們還知道，只有垂直於手柄的分力才能做功，因為如果我們沿著手柄推它，我們就不會旋轉手柄。因此，我們預計力的旋轉類比，稱為扭矩，由下式給出

$\tau =rF\sin \theta$

或者，用向量表示法，

$\mathbf {\tau } =\mathbf {r} \times \mathbf {F}$

其中$\mathbf {r}$ 是指向垂直於軸線遠離軸線到施力點的向量。

我們可以推廣上述公式，該公式適用於繞軸的剛體旋轉。旋轉更普遍地圍繞一個點而不是一個軸線。對於繞一點的旋轉，$\mathbf {r}$ 是從旋轉中心指向施力點的向量。扭矩仍然由$\mathbf {\tau } =\mathbf {r} \times \mathbf {F}$給出。對於繞軸旋轉的物體，可以驗證在旋轉軸上選擇的任何旋轉中心都將根據$\mathbf {r}$的任一定義給出相同的扭矩。

讓我們更詳細地檢查剛體繞軸旋轉的扭矩方程。我們有

$\tau =\sum rF_{\perp }=\sum r(ma)=\sum mr(r\alpha )=\alpha \sum mr^{2}$

我們定義

$I=\sum mr^{2}$為慣性矩。請注意，r 取為距軸線的距離，而不是距原點的距離。

我們可以將扭矩方程改寫為

$\tau =I\alpha$

請注意此方程與牛頓第二定律之間的相似之處。牛頓第二定律指出，力會導致加速度，並且加速度的大小與質量成反比。這條定律，我們稱之為旋轉運動的牛頓第二定律，指出扭矩會導致角加速度，與慣性矩成反比。慣性矩取決於質量圍繞軸線的分佈情況。離軸線較遠的質量比相同質量離軸線較近的質量具有較高的慣性矩。慣性矩不是任何物體的唯一值；一般來說，慣性矩對於每個旋轉軸是不同的。對於有限數量的物體，我們可以簡單地計算總和。對於連續的物質分佈，我們使用

$I=\int r^{2}dm=\int r^{2}\rho dV$

其中$\rho$是密度。這個積分通常很難計算。球體和圓柱體等簡單幾何形狀的慣性矩在各種表格中給出，這些表格圍繞常用軸線給出。

假設我們知道質心軸的轉動慣量，$I_{o}$。那麼，關於任何其他平行於第一個軸線的轉動慣量由下式給出。

$I=I_{o}+Md^{2}$

其中d是兩軸之間的距離。

角動量

我們知道$F={\frac {dp}{dt}}$，其中p是動量。類似地，我們會認為$\tau ={\frac {dL}{dt}}$，其中L是角動量，由$L=I\omega$給出，對於繞軸旋轉的剛體而言。像線性動量一樣，角動量守恆。**角動量守恆**是物理學中最基本的法則之一，並且經過實驗驗證具有驚人的精確度。雖然牛頓萬有引力定律和他的第二運動定律在相對論和量子力學中不成立，但角動量守恆在每個物理理論中都成立。

角動量就像線性動量一樣被使用。在不知道也不關心所涉及的特定力矩的情況下，角動量可以加深我們對情況的理解。例如，假設一顆恆星以速度$\omega _{0}$旋轉，當它突然（由於引力坍縮）縮小到原來的一半大小時。轉動慣量由$I={\frac {2}{5}}MR^{2}$給出。它的最終旋轉速度是多少？

在這種情況下，我們對使它進入最終狀態的力矩不感興趣，也一無所知。我們知道角動量守恆。因此，${\frac {2}{5}}MR^{2}\omega _{0}={\frac {2}{5}}M({\frac {1}{2}}R)^{2}\omega _{f}$，因此最終旋轉速度是其原始速度的四倍。

一般來說，關於任何給定點的角動量由$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$給出。這比上面的公式更通用，上面的公式僅適用於繞軸的剛體旋轉。第一個方程可以從更通用的公式推匯出來。