帶微積分的物理學/力學/一維運動

一維運動

作為物理學，其本質是研究運動，我們將從研究一維運動開始。

為了簡化我們的討論，我們希望建立真實物體的模型。因此，我們建立了“粒子”的概念。簡單來說，粒子是一個非常小的物體，其長度、寬度和高度可以忽略不計。有了這個粒子概念，我們可以明確地定義它到原點的距離，而無需擔心從哪個點測量物體。

位置

考慮一個沿直線運動的粒子。它的位置可以用一個數字x來描述。這個數字可以看作是粒子到原點的距離，或者從原點指向粒子的向量的模長。粒子的實際位移實際上是一個只有一項的向量（因為我們是在一維空間中工作），但是由於方向是已知的，它可以僅透過模長明確地指定。

值x以米為單位測量，為了解釋它，必須隱含一個粒子以及一個參考系或座標系。如果粒子在不同時間不保持在同一位置，則x的值將隨時間變化，因此我們可以定義一個函式x(t)，該函式返回粒子在時間t點的位置。

例如，假設我們有一個位置函式為x(t)= 2t的粒子。它在t = 3時的位置為x(3) = 2(3) = 6 m，位於x軸上。

對於位置函式為x(t)= t² + 5的粒子，它在t = 7 s時的位置為x(7) = 7² + 5 = 54 m，位於x軸上。

速度

考慮一個位置函式的圖形。在任何已知的物理條件下，該函式必須是連續的 - 如果它是間斷的，則有可能允許物體自發地從一個地方跳到另一個地方。此外，正如我們將在本節末尾看到的那樣，位置函式也是二次可微的。在這些條件下，我們能夠看到該函式在任何地方都有明確定義的改變率。

一維速度是指位置相對於時間的變化率，以米每秒為單位。測量速度最簡單的方法是在兩個不同時間測量粒子的位置，然後用位置的變化量（位移）除以時間的變化量。作為公式

${\bar {v}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}={\frac {x_{f}-x_{i}}{t_{f}-t_{i}}}$

其中x_f和x_i分別是最終距離和初始距離，t_f和t_i分別是最終時間和初始時間。

請注意，由於分子具有長度單位，而分母具有時間單位，因此商具有長度除以時間的單位。在 SI 中，速度的單位是米每秒的匯出單位。常見的非 SI 速度單位包括英里每小時和節.

示例 1：從原點開始的粒子在 9 秒內移動了 27 米。求 ${\bar {v}}$ .

${\bar {v}}={\frac {x_{f}-x_{i}}{t_{f}-t_{i}}}={\frac {27\ \mathrm {m} -0\ \mathrm {m} }{9\ \mathrm {s} -0\ \mathrm {s} }}=3\ \mathrm {m} /\mathrm {s}$

示例 2：從原點 23 米開始的粒子在 5 秒內移動到 43 米。求 ${\bar {v}}$ .

${\bar {v}}={\frac {x_{f}-x_{i}}{t_{f}-t_{i}}}={\frac {43\ \mathrm {m} -23\ \mathrm {m} }{5\ \mathrm {s} -0\ \mathrm {s} }}={\frac {20\ \mathrm {m} }{5\ \mathrm {s} }}=4\ \mathrm {m} /\mathrm {s}$

然而，平均速度只能告訴我們有限的資訊。例如，一個粒子的速度很可能隨時間 *t* 變化，我們想要確定粒子在某個時刻的瞬時速度。為了做到這一點，我們在越來越小的的時間間隔內取平均速度，即

$\ v(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta x}{\Delta t}}$

展開這個式子，我們得到

$v(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {x(t_{f})-x(t_{i})}{t_{f}-t_{i}}}$

並將 $t_{i}$ 和 $t_{f}$ 重寫為 t 和 t+ $\Delta t$ ，我們得到

$v(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}}$

這是導數的定義。所以

$\ v(t)={\frac {dx}{dt}}$

**示例 1：** 一個粒子的運動由方程 $\ x(t)=3t^{2}+5t+2$ 描述。求 a) 粒子的速度函式，b) 粒子在 *t* = 4 s 時的瞬時速度。

a) $v(t)={\frac {dx}{dt}}={\frac {d}{dt}}(3t^{2}+5t+2)=6t+5$

b) $\ v(4)=6(4\ \mathrm {s} )+5=29\ \mathrm {m} /\mathrm {s}$

加速度

正如粒子位置函式的時間導數具有重要意義，即速度，速度函式的時間導數也具有重要意義。在這種情況下，它被稱為粒子的*加速度*。你可能之前聽說過加速度，比如在談論汽車或其他車輛時。加速度的單位是米每秒每秒，或 m/s²，讀作“米每秒平方”。一些舊的教科書使用等價詞語“米每秒每秒”。

平均加速度，或 ${\bar {a}}_{x}$ 與平均速度類似，它與粒子所走的路徑無關；它只是速度的變化量除以時間的變化量。

${\bar {a}}={\frac {v_{xf}-v_{xi}}{t_{f}-t_{i}}}={\frac {\Delta v_{x}}{\Delta t}}$

再次，透過類似的推導，我們得到了瞬時加速度的定義。

$a(t)=\lim _{t\to 0}{\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {dv}{dt}}$

由於速度是原始位置函式的導數，我們也可以說瞬時加速度是位置函式的**二階導數**，可以寫成如下形式

$a(t)={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$

練習

給定一個在一條維度上運動的粒子，其位置函式為 *x*( *t* ) = 5*t*³ – 8*t*² + 20
1. 確定速度 *v* 作為時間 *t* 的函式。
2. 確定加速度 *a* 作為時間 *t* 的函式。
3. 粒子將在什麼時間(s) 瞬間停止？
4. 粒子將在什麼時間(s) 加速度為零？
一個做簡諧運動的粒子，其位置由函式 *x*( *t* ) = (80 cm) sin [(20 s^-1) *t* ] 定義。
1. 確定速度 *v* 作為時間 *t* 的函式。
2. 確定加速度 *a* 作為時間 *t* 的函式。
3. 粒子的運動週期是多少？(也就是說，粒子需要多長時間才能回到它開始時的位置和速度？)
不考慮空氣阻力的影響，一個蘋果從樹上掉下來，其加速度恆定為 9.8 m/s²。
1. 蘋果的速度 *v*( *t* ) 是多少？
2. 蘋果在自由落體一秒後的速度是多少？
3. 位置 *x*( *t* ) 是多少？
4. 蘋果在自由落體一秒後的位置是多少？兩秒？三秒？

二維或三維運動

描述一個粒子在二維或多維空間的運動可能比在一維空間中更復雜，因為，粒子可以沿無數條路徑運動，而不僅僅是在 *x* 軸上進行前後運動。為了正確地描述一個粒子的運動，我們必須使用向量。

位置

在處理一維運動時，我們可以用一個變數來描述物體的位置，即它在 *x* 軸上的位置。現在我們有了兩個或更多個軸，我們需要 *每個軸* 一個變數來描述粒子的位置。我們可以使用位置向量（用 **r** 表示）來描述這個粒子的位置。在二維情況下，位置向量從原點指向粒子在笛卡爾平面上的位置，並有兩個座標，即粒子的 *x* 位置和粒子的 *y* 位置。

**示例 1**：一個粒子在笛卡爾平面上的 (4, 5) 位置可以描述為沿 *x* 軸移動 4 個單位，沿 *y* 軸移動 5 個單位，也可以描述為位置向量 **r** = <4, 5> = 4**i** + 5**j**，其中 **i** 和 **j** 分別是 *x* 方向和 *y* 方向上的單位向量。

從這個例子中，我們可以看到位置向量採用 <*x*, *y*> 的形式，其中 *x* 是沿 *x* 軸移動的距離，*y* 是沿 *y* 軸移動的距離。

**示例 2**：一個碳原子位於掃描隧道顯微鏡尖端的東邊 7.0 奈米，北邊 0.5 奈米，下方 3.0 奈米。它的位置向量 **r** = <7.0 奈米，0.5 奈米，–3.0 奈米>。取 **i** 為東，**j** 為北，**k** 為上，**r** = (7.0 奈米)**i** + (0.5 奈米)**j** + (–3.0 奈米)**k**。