帶微積分的物理/力學/二維運動

等加速度運動

在某些情況下，您會發現一個粒子以恆定速率加速，因此推匯出問題引數之間的一些基本關係非常有用。恆定加速粒子的問題完全由總行程時間、初始位置、初始速度和加速度來表徵。也就是說，我們只需用這些量就可以算出任何時間粒子的任何資訊。

我們將從問題的定義開始，即粒子具有恆定加速度

${\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}=a=const.$.

積分一次，我們得到

${\frac {dr}{dt}}=at+C$.

根據速度的定義，我們有

$v=at+v_{0}$

(我已經用 $v_{0}$ 替換了 C，因為在 t = 0 時，$C=v(0)$，這是一個常數，並且將其稱為 $v_{0}$是有意義的)。

再次積分，我們得到

$r={\frac {1}{2}}at^{2}+v_{0}t+r_{0}$

其中 $r_{0}$ 是初始位置。

現在我們可以找到位置和速度作為時間的函式，這是問題的完整解。然而，將行程距離作為獨立變數而不是時間，通常很有用。要做到這一點，我們只需要從上面的兩個方程中消去 t 即可。結果是

$v^{2}=v_{0}^{2}+2a(r-r_{0})$.

不太有用，但通常會教授使用平均速度作為獨立變數。函式在 a 和 b 之間的平均值定義為

${\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)dx$.

這是當引數數量趨於無窮大時算術平均數的極限。

因此，平均速度（按時間平均）是

${\bar {v}}={\frac {r-r_{0}}{t}}$.

用時間函式 a 和 v 的方程消去 r 和 $r_{0}$，我們得到

${\bar {v}}={\frac {1}{2}}(v+v_{0})$.

所以，以下是結果列表

$v=at+v_{0}$

$r={\frac {1}{2}}at^{2}+v_{0}t+r_{0}$

$v^{2}=v_{0}^{2}+2a(r-r_{0})$

${\bar {v}}={\frac {r-r_{0}}{t}}$

${\bar {v}}={\frac {1}{2}}(v+v_{0}).$

我可以想出更多自變數（這很簡單！），但通常在需要時直接計算會更容易，而不是記住一大堆簡單的結果表。類似地，你可以計算位置三階導數（通常稱為加加速度）或甚至常數 n 階導數的類似結果。或者如果 n 階導數等於給定函式，例如加速度$=ksin(cosh(t/t_{0}))$。這一切歸結於進行一些複雜的積分運算，然後是一些複雜的代數運算。關鍵是，計算勻加速運動的唯一原因是因為它經常出現，否則它毫無價值。

多維運動

一個有趣的結論是，粒子在一個方向上的運動不會影響任何垂直方向上的運動。經典的例子是，如果你水平地射擊一把槍，同時丟下一顆子彈，它們會同時落地，就好像它們從同一個高度開始一樣。也就是說，子彈水平方向的運動對它垂直方向的運動沒有任何影響。你可能會問，為什麼紙飛機被扔和掉落時不會同時落地？答案是情況根本不同，因為你和空氣有相互作用。

用數學精確地說，速度實際上是一個向量。它像向量一樣相加，你可以把它分解成像向量一樣的分量。

利用這個概念，讓我們推匯出向量的勻加速運動方程，你就能看到向量有多麼有用。

${\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=\mathbf {a} .$

也就是說，

${\frac {d^{2}r_{i}}{dt^{2}}}=a_{i}$

其中下標表示向量的第 i 個分量。

對每個分量進行積分（或者等效地，對向量進行積分），

$\mathbf {v} =\mathbf {a} t+\mathbf {v_{0}}$.

很容易看出，所有事情都在以與一維情況完全相同的方式進行，只是我們在每個分量上都做了這個運算！

因此我們有

$\mathbf {r} ={\frac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}+\mathbf {v_{0}} t+\mathbf {r_{0}}$

${\bar {\mathbf {v} }}={\frac {1}{2}}(\mathbf {v} +\mathbf {v_{0}} )$

${\bar {\mathbf {v} }}={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r_{0}} }{t}}$

以及一些複雜的向量代數，

$v^{2}{\hat {\mathbf {a} }}=v_{0}^{2}(2{\hat {\mathbf {v_{0}} }}\cdot {\hat {\mathbf {a} }}{\hat {\mathbf {v_{0}} }}-{\hat {\mathbf {a} }})+2\|\mathbf {a} \|(\mathbf {r} -\mathbf {r_{0}} )+2\|\mathbf {v} \|\|\mathbf {v_{0}} \|({\hat {\mathbf {v} }}\cdot {\hat {\mathbf {v_{0}} }}{\hat {\mathbf {a} }}-{\hat {\mathbf {v} }}\cdot {\hat {\mathbf {a} }}{\hat {\mathbf {v_{0}} }})$.

可以簡化為

$\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} =\mathbf {v_{0}} \cdot \mathbf {v_{0}} +2\mathbf {a} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r_{0}} )$.

如果你想知道的話，這就是它的結果。向量上方的帽子表示該向量除以其大小，使其成為原始向量方向上的單位向量。