帶微積分的物理/力學/牛頓萬有引力定律和重量

牛頓萬有引力定律

如前所述，萬有引力是自然界中四種相互作用之一，它是四種相互作用中最早被廣泛研究的。艾薩克·牛頓在 17 世紀發現，使蘋果從樹上掉落的相同相互作用也使行星繞太陽執行。除了他的三大運動定律，牛頓於 1687 年發表了萬有引力定律。它可以表述如下

宇宙中每個物質粒子都以一種力吸引其他每個粒子，該力與粒子的質量乘積成正比，與它們之間的距離平方成反比。

用數學語言來說，萬有引力定律可以表示為$F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}},$

其中

• F 是兩個點質量之間的萬有引力的量級，
• G 是萬有引力常數或$G=\left(6.67428\pm 0.00067\right)\times 10^{-11}\ {\mbox{m}}^{3}\ {\mbox{kg}}^{-1}\ {\mbox{s}}^{-2}$,
• m₁ 是第一個點質量的質量，
• m₂ 是第二個點質量的質量，
• r 是兩個點質量之間的距離。

牛頓萬有引力定律可以寫成向量方程，以說明萬有引力的方向及其大小。在這個公式中，粗體中的量表示向量。

$\mathbf {F} _{12}=-G{m_{1}m_{2} \over {\vert \mathbf {r} _{12}\vert }^{2}}\,\mathbf {\hat {r}} _{12}$

其中

$\mathbf {F} _{12}$ 是物體 1 對物體 2 的作用力

$G$ 是萬有引力常數

$m_{1}$ 和 $m_{2}$ 分別是物體 1 和物體 2 的質量

$\vert \mathbf {r} _{12}\vert \ =\vert \mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}\vert$ 是物體 1 和物體 2 之間的距離

$\mathbf {\hat {r}} _{12}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}}{\vert \mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}\vert }}$ 是從物體 1 到物體 2 的單位向量

可以看出，該方程的向量形式與前面給出的標量形式相同，只是F現在是一個向量量，並且右側乘以相應的單位向量。此外，可以看出F₁₂ = − F₂₁。

重力加速度是指物體由於另一個物體的重力而產生的加速度。在沒有其他力的作用下，任何物體都會以相同的速度在重力場中加速，而與物體的質量無關。在地球表面，所有物體都會以9.78到9.82 m/s²之間的加速度下落，具體取決於緯度，而公認的標準值為9.80665 m/s²（約為32.174 ft/s²）。

物體所受到的重力加速度由以下公式給出：

$\mathbf {g} =-{mG \over r^{2}}\mathbf {\hat {r}}$

其中

m 是物體的質量，

r 是從物體中心到我們所考慮位置的距離，

$\mathbf {\hat {r}}$ 是從物體中心到我們所考慮位置的單位長度向量，

G 是宇宙的萬有引力常數。

正如我們所見，重力加速度與參考粒子的質量無關。

物體的重量是指宇宙中所有其他物體對該物體施加的總重力。當物體靠近地球表面時，我們可以忽略所有其他重力，並將重量視為僅地球的重力吸引力。如果我們將地球建模為一個球形對稱體，那麼質量為m的小物體在地球表面的重量為

$w=F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}$