帶微積分的物理學/力學/旋轉運動

向心加速度

一些符號問題

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1. 通常，用分量形式寫向量很方便，不使用單位向量，例如：${\vec {r}}(t)=\left[\,(x(t),y(t),z(t)\,\right]$
2. ${\vec {r}}$ 的獨特性在於它的分量不是 \left[\,r_x, r_y,r_z\,\right] </math>
3. 向量微分存在不可彌補的歧義。普遍認為 $\Delta r$ 代表幅值的微分，$\Delta r\equiv \Delta \left|{\vec {r}}\,\right|$。另一方面，在勻速圓周運動中，$|\,v\,|$ 是一個常數，因此在黑板上或紙上寫 $\Delta v$ 作為 $\left|\Delta {\vec {v}}\,\right|$ 可能更方便。所以，我們應該將這種非標準符號寫進文字嗎？

沿著彎曲路徑的加速度的嚴格討論

簡單地說，粒子的加速度由兩部分組成

${\vec {a}}={\frac {\rm {dv}}{\rm {dt}}}{\hat {\tau }}+{\frac {v^{2}}{R}}{\hat {\eta }}$

其中 ${\hat {\eta }}$ 和 ${\hat {\tau }}$ 是單位向量（稱為eta-hat 和 tau-hat）； ${\hat {\tau }}$ 指向路徑的切線方向，而 ${\hat {\eta }}$ 指向曲率中心（垂直於 ${\hat {\tau }}$）。到曲率中心的距離為 R。通常使用符號 ${\rm {d\ell }}$ 表示位置的微小變化。使用向量的分量表示法

${\rm {d{\vec {\ell }}\equiv {\rm {d{\vec {r}}=\left[\,{\rm {dx,{\rm {dy,{\rm {dz\,}}}}}}\right]}}}}$.

一些作者將此稱為 ${\rm {ds}}$。在電磁學（安培定律）和廣義相對論（固有時間）中，該向量的標量大小都很重要

${\rm {d\ell ={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}}}$

使用點來表示關於時間的微分很方便

${\vec {v}}={\frac {d{\vec {x}}}{dt}}\equiv {\dot {\vec {x}}}$

${\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}\equiv {\dot {\vec {v}}}$

請注意 $v\equiv |{\vec {v}}|={\frac {d\ell }{dt}}$。接下來，我們定義切線單位向量 ${\hat {\tau }}$，作為平行於速度的單位向量。

${\hat {\tau }}={\vec {v}}/v$

現在我們證明 ${\hat {\tau }}$ 的微分是正交的（垂直於） ${\hat {\tau }}$。我們首先定義 ${\vec {\eta }}$ 向量如下

${\vec {\eta }}\equiv {\frac {d{\hat {\tau }}}{d\ell }}$

由於（根據單位向量的定義）${\hat {\tau }}\cdot {\hat {\tau }}$ 的導數為零，我們有

${\frac {d({\hat {\tau }}\cdot {\hat {\tau }})}{d\ell }}=0=2{\vec {\eta }}\cdot {\hat {\tau }}$

使 ${\hat {\eta }}$ 和 ${\hat {\tau }}$ 變得有趣的是，它們僅取決於粒子在空間中的運動軌跡，而不依賴於粒子運動的速率。定義 ${\vec {\eta }}$ 的大小為 $\kappa$，因此

$\kappa {\hat {\eta }}={\vec {\eta }}$.

因此，我們可以將速度的導數，${\vec {v}}={\hat {\tau }}({\rm {d\ell /dt)}}$，看作兩個項的乘積的導數。

${\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {d{\hat {\tau }}}{dt}}{\frac {d\ell }{dt}}+{\hat {\tau }}{\frac {d^{2}\ell }{dt^{2}}}=\kappa \left({\frac {d\ell }{dt}}\right)^{2}{\hat {\eta }}+{\frac {d^{2}\ell }{dt^{2}}}{\hat {\tau }}$.

這意味著首先一個粒子 *永遠不會* 在除了法線或切線方向之外的任何方向上加速（當然，也不包括兩者的組合）。也就是說，它永遠不會在 ${\hat {\tau }}\times {\hat {\eta }}$ 方向上加速。此外，在切線方向上的加速度只改變速度，而不在方向上改變，而在法線方向上的加速度只改變方向，而不在速度上改變。為了辨別 $\kappa$ 的意義，我們考慮一個以半徑 R 做勻速圓周運動的粒子。在 x-y 空間，

${\vec {r}}=[R\cos \omega t,R\sin \omega t]$

很容易證明 $\kappa$ （稱為 **曲率**）由下式給出：

${\vec {r}}=\kappa ={\frac {1}{R}}$（這個問題尚未解決）

討論臨時

記住這一點。它被稱為向心加速度。如果你不記得本節中的其他內容，請記住該公式。請注意，向心加速度指向圓心，而不是向外。你可能會不同意，因為你可能坐過旋轉木馬或旋轉木馬，因為你確實感受到了一種向外的力。許多人喜歡說“那不是 *真正的* 力，它只是慣性”。你可能會說，“是的，但我知道我感覺到了一種力”。事實上，你確實感覺到了一種力，它在旋轉參考系中是一種真正的力。假設你是一個在圓周上運動的粒子，那麼這意味著存在某種力將你拉向圓心，我們將其稱為 F。

$F=m{\frac {v^{2}}{R}}$.

但對你來說，你沒有看到自己移動，所以你說力的總和為零，並寫出

$F_{total}=F-m{\frac {v^{2}}{R}}=0$.

瞧，在等式左邊出現了一個神秘的力，即離心力，它指向相反的方向，即徑向向外！在旋轉框架中，你必須新增這個額外的離心力項（以及另一個科里奧利力項）才能使牛頓第二定律成立。

旋轉運動學

如果你瞭解直線運動學，旋轉運動學就輕而易舉了。我們使用完全相同的論證來構建幾乎相同的公式。

對於旋轉運動，我們首先假設所有物體都在一個平面上，並且所有物體都在一個圓周上運動。這是一種相當無聊的情況，所以我們稍後會對其進行推廣。某個參考點（通常是 x 軸）和粒子之間的角度。該角度可以是任何實數值，它永遠不會從 $2\pi$ 跳到 0 或任何類似的奇怪事情。角度的導數是角速度 $\omega$，它的導數是角加速度 $\alpha$。當然，根據角度的定義，

$\theta ={\frac {s}{R}}$

其中 s 是弧長。因此，我們有

$\omega ={\frac {v}{R}}$

以及

$\alpha ={\frac {a}{R}}$.

所有正常的運動學方程式都成立，將 a 替換為 $\alpha$，v 替換為 $\omega$，x 替換為 $\theta$.

旋轉動力學

我們可以用向量來描述粒子的位置。如果我們新增兩個位移向量，我們得到總位移，並且新增的順序無關緊要。但是，對於角度，沒有這樣的向量量，因為旋轉不滿足交換律，這意味著新增的順序很重要。例如，將一本書繞水平軸旋轉 90 度，然後繞垂直軸旋轉 90 度，與先繞垂直軸旋轉 90 度，然後再繞水平軸旋轉 90 度的結果不同。

可以證明，非常小的旋轉確實滿足交換律，因此可以定義角度變化率的向量。雖然角度不是向量，但角度的變化率是。

我們可以定義角速度，$\omega =(d\alpha /dt,d\beta /dt,d\gamma /dt)$，其中 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 分別是與 x、y 和 z 軸的角度。物體的角速度的大小等於繞單位半徑旋轉軸運動的粒子的速度，方向為旋轉軸的方向，方向遵循右手定則。