帶微積分的物理學/力學/有效數字
前面段落中的“大約”應該讓一些人感到不舒服，而且是合理的。為了更精確地表達，我們說“大約”，因為我們不能期望任何資料集都具有精確的關係。即使理論絕對正確，實驗中也可能出現很多錯誤：也許，當我們測量高度時，我們測量了 51.2 釐米，而不是我們應該測量的 50 釐米。或者，更可能的是，我們在彈珠掉落後稍晚才按下秒錶的“停止”按鈕。
這可能是由於我們的反應時間（從聽到彈珠掉落到按下按鈕之間的時間）造成的，導致了準確度方面的誤差。還有一種型別的誤差，稱為精度。當秒錶記錄 1.52 秒時，我們不知道它是否實際上是 1.5187 秒，因為我們的裝置，假設它執行良好，只可靠地測量到小數點後兩位。這種“準確度”和“精度”之間的區別可以透過以下方式類比射擊靶來描述：“高精度”意味著每次射擊都相對更靠近彼此；點的分散範圍更小。“高準確度”意味著所有射擊都靠近目標。對於一組資料，它可以具有“高精度”但“低準確度”，例如，如果我們獲得了一臺能記錄到小數點後四位的更好秒錶，但沒有解決反應時間問題，我們所有的測量結果都會相對接近彼此，但它們的平均值仍然會與應該的值相差 0.1 秒。我們也可以有“高準確度”但“低精度”，如果我們透過設計一種裝置來解決反應時間問題，使秒錶在彈珠掉落時自動按下，但秒錶本身只可靠地測量到 1/10 秒。
在任何實驗中，實現“高精度”、“高準確度”測量都是一個共同的目標。通常，將減少準確度方面的誤差視為良好實驗技術的一部分，但我們能做到的關於精度方面的誤差卻很少。雖然更好的裝置會有所幫助，但在各種情況下，存在多種型別的基本噪聲，即使是最先進的儀器也會受到限制。事實上，這是一個物理學的基本事實，部分原因是量子力學，即不可能進行絕對精確的測量。
因此，這就是我們所說的“大約”。對於每次測量，人們會定義誤差邊界，這些邊界表明人們估計測量值可能偏離多少（使用統計學，諸如“置信度”和標準差之類的概念通常用於使這種含義更加精確）。這通常寫成類似於 s 的東西。如果人們發現一條曲線，其中是一個常數，該曲線相對於每個點的誤差接近所有資料點，並且誤差相對較小，那麼人們會說該理論在本次例項中得到了證實。
由於所有實驗測量的量都具有一定的不確定性或誤差，因此我們還應該說明我們期望測量結果的精度。雖然在進行全面實驗時，這可能是一個相當複雜的問題，但對我們來說，一種稱為有效數字的約定允許我們以簡潔的方式表示誤差。簡而言之，有效數字表示測量值中存在的有效數字的位數，誤差取為在最後一位上。例如，當我們說一根棍子的長度為 1.25 米時，此測量值具有三位有效數字：我們對前兩位數字 1 和 2 非常確定，但由於我們不知道最後一位數字之後是什麼，因此我們有的不確定性（因為，例如，如果實際數字是 1.256，在四捨五入後，它將是 1.26 米）。另一方面，如果我們說它測量了 1.250 米，那麼我們就有四位有效數字。
約定是，“有效數字的位數等於寫入的數字的位數，包括小數點後的零”。但是，此約定沒有說明“5000 米”有多少位有效數字。它可能意味著它是精確到米的，也可能是一個粗略的估計，只精確到 1000 米——因為沒有其他方法來寫 5000 米，我們根本無法知道。解決這種歧義的一種方法是使用科學記數法，在科學記數法中，，如果它有三位有效數字。
在使用測量值計算其他物理量時，有效數字的位數至關重要。例如，我們有一塊矩形的金屬箔，想求出它的面積。我們測量它的邊長分別為 12.1 cm 和 27.2 cm。我們知道矩形的面積公式為：，其中 和 分別代表寬度和長度。因此，我們將這兩個數字相乘得到 。然而，這個結果的精度具有誤導性。而 ，它與我們初始值的有效數字位數相同，更能代表面積的值和我們對其值的置信度。一般規則是：“在對兩個數字進行乘除運算時，最終結果的有效數字位數等於有效數字位數較少的那個數字的位數”。因此，當我們把 12 cm 和 27.2 cm 相乘時，我們應該給出答案為 ，或者用科學計數法表示為 。
當我們對兩個數字進行加減運算時，規則略有不同：我們不嘗試保持相同的有效數字位數，而是嘗試保持相同的位數，遵循精度較低的那個數字。例如，。
在應用這些規則時，要牢記常識。這些規則只是粗略的指導，因此我們必須根據實際情況來應用它們。例如，當我們根據一顆彈珠的測量質量 25.2 g 計算兩顆彈珠的質量時，我們不能說 ，因為 2 只有一個有效數字。相反，我們將 2 視為一個離散值，它具有無限的有效數字，因此可以說兩顆彈珠的重量為 50.4 g。
另外，當我們進行一系列計算時，最好等到最後再進行四捨五入到正確的有效數字位數。否則，會導致“舍入誤差”。