微積分物理/力學/功和能

功

功是賦予 (標量) 量的一個特殊名稱

$W=\int {\vec {F}}\cdot d{\vec {x}}.$

其中 $W$ 是功，$F$ 是物體上的力，$x$ 是位移。由於點積是投影，因此功是力在位移方向上的分量乘以位移。如果力是恆定的，並且物體沿直線運動，則簡化為

$W={\vec {F}}\cdot {\vec {x}}=Fx\cos \theta \$

其中 $W$ 是功，$F$ 是物體上的力，$x$ 是位移。

我們說 W 是“力 F 所做的功”。讓我們推匯出功和動能之間的一個有用關係。

假設我們有一個作用在物體上的總力 ${\vec {F}}$。那麼功是

$\int {\vec {F}}\cdot d{\vec {r}}=\int m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}\cdot d{\vec {r}}=m\int {\frac {d{\vec {v}}}{dt}}\cdot {\vec {v}}dt=m\int {\vec {v}}\cdot d{\vec {v}}=\Delta (mv^{2}/2)=\Delta K$

我在第一步中簡單地使用了牛頓第二定律，並在積分中進行了很好的替換。這表明作用在物體上的總力所做的功是該物體動能的變化。事實上，這足以成為將 K 定義為 $mv^{2}/2$ 的動機。

例如，如果你拿著一隻蘋果，然後將蘋果向上移動一點，然後停止，發生了什麼？蘋果的勢能發生了變化，因此有人在做功，儘管動能沒有變化——根據我們的定理，這意味著沒有做功——怎麼會這樣？重力對蘋果做了 (負) 功，但你也對蘋果做了 (正) 功。也就是說，總功為零，雖然你所做的功不為零。請始終記住，是總力改變了動能。

功的另一個有用性質是它在力上是線性的。也就是說，兩個力的總功等於每個力所做功的總和。因此，你可以將功解釋為每個力賦予物體的動能。在蘋果的例子中，一開始你手部的力大於重力，所以動能增加，蘋果向上加速。然後，當你減速時，重力做了更多的功，所以總功是負的，蘋果減少了動能並停止了。

在一種非常特殊的情況下，功的大小不取決於你如何移動一個粒子，而只取決於起點和終點。這樣的場被稱為“保守場”。這意味著我們可以引入勢能。引力就是一個保守力，令人驚奇的是，這就是為什麼我們可以談論物體的“勢能”。這只是為了簡化地說，將物體從某個地方（參考點）移動到我們正在談論的任何地方所需要的功。因此，動能的變化等於勢能的負變化，這意味著系統的總能量是恆定的。這實際上就是為什麼這種力被稱為保守力——它守恆機械能！然而，反過來並不成立。也就是說，如果一個系統守恆機械能，它不一定是一個保守力場。

耗散力，例如摩擦力（它消耗能量），有時被稱為非保守力。這有點像一個錯誤，因為在分子層面上，這些力實際上是保守力。然而，在特定情況下，說能量不守恆往往更方便，即使我們完全清楚能量正在消失到原子的運動或熱量中。你會聽到許多人說在特定情況下能量不守恆，但當然它守恆；能量總是守恆的。

事實證明，一個力是保守力當且僅當該力是“無旋的”或“無旋度的”，這與向量微積分有關。這意味著如果你放一個槳輪進去，它不會自發地開始轉動。這是一個有趣的事實，即根本不存在非保守力！

為了量化一切，我們有非保守力所做的功是物體 *總能量* 的變化。透過總能量，我們指的是勢能加上動能，因為總力可以分解為保守力（出現在勢能項中）和非保守力（新項）。

功率

功率是做功的速率。為了得出這個有用的表示式，考慮一個短時間間隔 $\Delta t$。在這段時間內做了多少功？好吧，根據功率的定義，它幾乎是 $P\Delta t$。根據功的定義，這是 ${\vec {F}}\cdot {\vec {\Delta x}}$，其中 $\Delta x$ 是在 $\Delta t$ 內發生的位移。我們有

$P\Delta t={\vec {F}}\cdot {\vec {\Delta x}}$

所以，

$P={\vec {F}}\cdot {\frac {\vec {\Delta x}}{\Delta t}}$,

當 $\Delta t$ 趨近於零（此時我們的“方程”變得精確）時，

$P={\vec {F}}\cdot {\frac {d{\vec {x}}}{dt}}={\vec {F}}\cdot {\vec {v}}$.

等效地，我們可以透過簡單地對功的表示式進行微分來獲得該表示式。無論推導方法如何，它都沒有那麼重要；我們有一個對功率有用的表示式。

這意味著如果力作用於速度垂直的方向，速度不會改變，因為功為零，因此動能的變化為零。但是等等，這怎麼可能呢？因為力必然會導致物體的加速？它確實導致了加速，它改變了運動的方向——加速意味著 *向量* 速度的導數，而不是速度的大小。事實上，這告訴我們，與速度方向相同的力的分量負責（並且只負責）速度大小的變化，而垂直於速度的力的分量負責（並且只負責）速度方向的變化。為了稍微量化一下，可以證明

${\vec {a}}=||v||{\vec {T}}+{\frac {||v||^{2}}{\rho }}{\vec {N}}$

其中，a 代表加速度，v 代表速度，T 代表單位切向量（與粒子軌跡相切，因此平行於速度向量），N 代表單位法向量（垂直於切向量，方向指向切向量的導數，你可以透過在曲線上繪製兩個非常接近的切向量來理解這一點），而 $\rho$ 是曲率半徑，它本質上是與該點最匹配的圓的半徑（圓的曲率半徑就是圓的半徑，直線的曲率半徑是無窮大）。所有這些概念對於理解物理學並不真正必要，但如果你理解了它們，它將有助於你理解正在發生的事情。請注意，第二項是向心加速度 - 實際上，這就是我們獲得向心加速度公式的地方。

最後，只是寫出功率的定義，看起來很漂亮，如果功以變化的速率完成，那麼

$P={\frac {dW}{dt}}$

如果功以恆定速率完成，那麼它就變成了

$P={\frac {W}{\Delta t}}={\frac {\Delta E}{\Delta t}}$.