帶微積分的物理學/現代/狹義相對論

狹義相對論

愛因斯坦最著名的理論之一是狹義相對論。相對論解釋了相對於彼此運動的系統的動力學。

一個流行的例子是火車上的人觀察地面上靜止的人。當您從一個角度看待問題時，您可能會認為火車上的人在移動（這是從靜止的人的角度來看的）。現在，從移動火車上的人的角度思考這個問題——他認為地面上的人在移動。最終，您可以選擇以任何一種方式看待問題——沒有正確或錯誤的答案。一切僅僅取決於您的觀點。

所有狹義相對論都可以從兩個原理推匯出來：

1) 物理學在任何慣性參考系中都是相同的。如果你在高速公路上開車（窗戶關著）並扔出一個球，它會像你在停車標誌處停下並扔下同一個球一樣落下。

2) 沒有任何東西可以比光速更快（這應該真正被稱為無質量粒子的速度）。這個速度大約是 $3x10^{8}m/s$

嚴格來說，資訊不能比光速傳播得更快。可以證明，如果訊號比光速傳播得更快，在某個參考系中，資訊將在傳送之前被接收，這是毫無意義的。但是，對於其他事物沒有限制。例如，如果我有一個距離螢幕很遠的投影儀，我快速地在它前面揮動我的手，陰影將比光速傳播得更快。此外，光波的相速度在某些情況下將大於光速。但是，使用這些物體不可能以比光速更快的速度傳輸任何訊號。

我們可以從兩個假設推匯出所有相對論，但這不會很有啟發性，因為這是一個相當技術性的證明。相反，假設愛麗絲在一個相對於鮑勃以速度 v 運動的參考系中。我們稱愛麗絲的參考系為 A'，鮑勃的參考系為 A。由此得出

$x'={\frac {x-vt}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

$y'=y$

$z'=z$

$t'={\frac {t-vx/c^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$.

將其與伽利略變換進行比較：

$x'=x-vt$

$y'=y$

$z'=z$

$t'=t$.

第一組方程（稱為洛倫茲變換）令人驚訝之處在於，如果代入麥克斯韋方程，它們將保持不變！如果您嘗試代入第二組方程，您將得到不同的方程。在存在電和磁的地方，伽利略變換一定是錯誤的。

可以從洛倫茲變換推匯出相對論中的所有結果，就像所有非相對論力學都來自伽利略變換和牛頓定律一樣。

讓我們看看洛倫茲變換的一些性質。首先，變換的逆變換（用帶撇號的成分解出不帶撇號的成分）給出完全相同的結果，只是 v 被替換為 -v，正如我們所預期的那樣。

如果有一個光爆發，由 $x=ct$ 定義，它將保持不變。

四維向量

注意

$x'={\frac {x-(v/c)ct}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

$y'=y$

$z'=z$

$ct'={\frac {ct-(v/c)x}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$.

使用新符號：

$x'=\gamma (x-\beta ct)$

$y'=y$

$z'=z$

$ct'=\gamma (ct-\beta x)$.

定義一個四維向量，它是一個具有四個分量的四元組，當它被變換到具有特徵 $\beta$ 的新參考系時，其分量按上述方式變換。例如，(x,y,z,ct) 是一個四維向量。如果 $x=(a,b,c,d)$ 是一個四維向量，那麼當改變參考系時（當 $\beta$ 位於 x 方向時），我們有 $x'=(\gamma (a-\beta d),b,c,\gamma (d-\beta a))$.