帶微積分的物理學/現代物理學/玻爾模型

如果我們有一個電子繞原子核運動，電子就會加速朝向原子核。眾所周知，加速的電荷會產生輻射，輻射包含能量。因此，當電子繞軌道執行時，它會損失能量，最終會落入原子核。因此，經典的電子繞原子核運動模型必須是錯誤的，因為我們不僅沒有觀察到輻射，而且電子並沒有落入原子核。

玻爾提出，電子的角動量只能取離散值，例如 $n\hbar$，其中 n 是任何大於零的整數。因此，電子的能量也是量子化的，所以除非電子獲得足夠的能量躍遷能級，否則它不能發射光子；也就是說，它不會輻射。

我們將透過一個非常簡單的玻爾模型案例。

假設我們有一個質量為 m 的單電子繞一個單質子在一個圓形軌道上運動，角動量為 $n\hbar$，其中 n 是任何大於零的整數。還假設電子的質量與質子的質量相比可以忽略不計。

$L=mvr=n\hbar$

$F={\frac {ke^{2}}{r^{2}}}={\frac {mv^{2}}{r}}$

$v^{2}={\frac {ke^{2}}{mr}}$

$v={\frac {ke^{2}}{mvr}}={\frac {ke^{2}}{n\hbar }}$

$r={\frac {n\hbar }{mv}}=n^{2}{\frac {\hbar ^{2}}{mke^{2}}}$

$E={\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {ke^{2}}{r}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {ke^{2}}{r}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {m(ke^{2})^{2}}{n^{2}\hbar ^{2}}}$.

玻爾模型出人意料地對從電子躍遷能級發出的光子的能量做出了很好的預測。我們可以繼續我們的模型，並計算諸如氫的磁矩之類的東西，並找出我們期望的磁性質。

玻爾模型的缺陷

僅適用於氫原子（單電子）原子。

離散角動量值的假設是無法解釋的。