帶有微積分/熱力學/熵的物理學

定義

熵是衡量系統有序程度的指標。熵低的系統是指具有有序或不太可能的構型的系統。例如：如果你有一杯平均溫度為 20 度的水，低熵狀態可能是上半部分 30 度，下半部分 10 度，而最高熵狀態是整杯水都是 20 度。

數學表達

為了量化這一點，我們找到微觀狀態的總數 (Ω)；系統可能處於的所有可能狀態。對於一枚硬幣：Ω = 2（正面/反面），兩枚硬幣：Ω = 4（正正/正反/反正/反反），N 枚硬幣：Ω = 2^N。如果你有兩個系統，分別有 Ω₁ 和 Ω₂ 個微觀狀態，則 Ω_總 = Ω₁Ω₂。

要將此應用於粒子系統，請使用體積為 V，包含 N 個原子的系統。在經典力學中，原子可以具有無限多個狀態，使得 Ω 為無限大。但是由於量子物理學的結果，Ω 實際上是有限的。給定總能量 E 和質量為 m 的 N 個原子

$\Omega ={\frac {c}{N!}}\left({\frac {V(2mE)^{3/2}}{h^{3}}}\right)^{N}$

c 是一個取決於幾何形狀的常數。

h 是普朗克常數。

這裡有一些說明

1. 可以透過一個偽量子論證推匯出這一點，該論證指出盒子中只有有限個位置等於體積除以 h³，並且可能動量的數量是超球面的表面積。但是由於這些都是非物理的且無關緊要的，我也可以只說明公式（學習量子力學！）。
2. 我在公式中添加了一個常數，因為我們主要對狀態數如何增長感興趣，而不是確切的數量。
3. N！僅適用於不可區分的粒子。這是另一個量子效應，意味著自然界無法區分兩種相同型別的原子。
4. 統計力學處理的數字數量級為 N = 10²⁷，因此 Ω 通常非常非常大。

熵定義為 $S=k_{b}\ln(\Omega )$，其中 k_b 是玻爾茲曼常數。所以

$S=k_{b}\ln \left({\frac {c}{N!}}\left({\frac {V(2mE)^{3/2}}{h^{3}}}\right)^{N}\right)=k_{b}(\ln c-\ln N!+N(\ln V+3/2\ln 2mE-3\ln h))$

注意：最後一段中的單位有些混亂，但這並不重要。斯特林近似法指出對於較大的 N：$N!\sim N\ln(N)-N$。所以

$S=Nk_{b}(\ln(V)+{\frac {3}{2}}\ln(E)+D)$

由於重要的是變化，我把常數放進了 D（假設粒子守恆）。此外，$E={\frac {1}{2}}fNk_{b}T$，所以

$\Delta S=Nk_{b}(\ln {\frac {V_{2}}{V_{1}}}+3/2\ln {\frac {T_{2}}{T_{1}}})$

$\Delta S=Nk_{b}\ln {\frac {V_{2}}{V_{1}}}$ 在恆溫下。

$\Delta S=3/2Nk_{b}\ln {\frac {T_{2}}{T_{1}}}$ 在恆容下。

用熵來定義溫度也很有用

$T={\frac {1}{\partial S \over \partial E}}={\frac {2E}{3Nk_{b}}}$