帶微積分的物理/熱力學/壓強和溫度

在最基本和最概念化的形式中，壓強是單位面積上的力。當然，我們都對什麼是壓強有一個基本直覺。然而，嚴格定義它有點棘手，因為原則上我們可以在每個點都有不同的壓強，那麼它在宏觀尺度上就不是真正的單位面積上的力了。此外，我們到底在談論什麼力以及什麼面積呢？

我們的真正意思是，如果我們在流體中某個點周圍畫一個小封閉曲面（如球體），那麼壓強就是流體從曲面內部向外的力除以曲面面積。當然，曲面必須是可定向的（你不能在它周圍畫一個克萊因瓶），但更重要的是，當你畫的曲面越來越小（比如你選擇一個球體，然後縮小半徑），計算出的壓強必須越來越接近一個確定的值。當然，這些都是數學上的細微之處，還有很多其他的細微之處，都可以忽略不計。

你應該意識到，對於任何給定的曲面，作用在其上的總力是壓強的曲面積分。等價地，對於一個小曲面（無窮小），力只是壓強乘以面積。

還要注意，壓強不能產生剪下力，只能產生法向力。

現在，想象一個小的長方體流體，尺寸為 dx、dy、dz。讓我們看看與 x 軸垂直的兩個相對面，我們稱它們為 A 和 A'。現在，我們要找出周圍流體對這個立方體的總力。x 方向上的總力是作用在 A' 上的力減去作用在 A 上的力。作用在 A 上的力是 A 點的壓強乘以表面積，我們稱之為 dy dz，所以是 P(x) dy dz。作用在 A' 上的力並不完全相同；如果我們取線性近似，它在 dx、dy 和 dz 變小時會變得精確，那麼它就是

$P(x)\,dy\,dz+{\frac {\partial P}{\partial x}}\,dx\,dy\,dz$. 由於所有高階項除以 dx dy dz 後都會變為零，因此可以忽略不計。

x 方向上的力為

${\frac {\partial P}{\partial x}}\,dx\,dy\,dz$.

對其他面重復此過程，我們得到

$d{\vec {F}}=\left({\frac {\partial P}{\partial x}},{\frac {\partial P}{\partial y}},{\frac {\partial P}{\partial z}}\right)\,dV$

除以 dV （嚴格來說，我們應該使用 delta 而不是 d，但你得到的結果是一樣的），並改變符號，我們得到

${\vec {F}}=\nabla P$

其中 ${\vec {F}}$ 是力密度。