帶微積分的物理/熱力學/理想氣體

動理論

理想氣體是指分子尺寸可忽略不計，相互作用可忽略不計，除了彼此之間的彈性碰撞和可能與容器壁之間的碰撞。此外，在處理理想氣體時，我們假設它們具有均勻的壓力、溫度，並且它們充滿容器（儘管有時我們會放棄這個假設，但我們總是假設對於足夠小的體積它是成立的）。我們還將忽略重力勢能。雖然看起來我們在對氣體施加了太多限制，但當應用於相對高溫和相對低壓的氣體時，它給出了非常精確的結果——也就是說，分子彼此遠離並且快速移動。例如，它將是 20 攝氏度大氣壓下氖氣的一個很好的近似值。

從我們的假設出發，我們將推匯出一些關於理想氣體有用的資訊。首先，讓我們看一下壓力。如果我們有一個活塞，並且分子與它發生碰撞（即對它施加壓力），我們需要多少力才能使它保持在原位？如果在每秒鐘內，活塞從分子獲得一些動量，那麼力的作用就是以相同的方式賦予相同動量。換句話說，分子傳遞的每秒動量是我們需要施加的力。我們知道這等於壓力乘以面積（我們假設壓力是均勻的）。如果分子進行完全彈性碰撞，那麼傳遞的總動量為 $2mv_{x}$ 。也就是說，沒有任何東西升溫；當活塞與環境處於熱平衡時，那麼碰撞本質上是彈性的，因為沒有任何東西變得更熱。

現在，我們將找到在給定的時間 dt 內有多少個分子撞擊活塞。如果分子以速度 $v_{x}$ 在 x 方向上運動，並且每單位體積有 n 個分子，那麼有 $1/2nv_{x}Adt$ 個碰撞。你可以很容易地透過想象一個面積為 A，厚度為 v_x dt 的長方體來理解這一點，並且由於這些分子中的一半（因為一半朝另一個方向移動）將撞擊牆壁，你將得到所需的結果。因此，每秒的碰撞數為 $1/2nv_{x}A$ 。透過將每次碰撞的動量乘以每秒的碰撞數，我們得到每秒的動量， $nAmv_{x}^{2}$ 。因此，壓力為 $nmv_{x}^{2}$ 。但是，這隻有在所有分子具有相同的 x 速度分量時才成立。如果我們在所有分子可能具有的不同速度上對力進行平均，我們將得到 $nm<v_{x}^{2}>$ 。這與 $nm<v_{x}>^{2}$ 不同！因為第二個是零！重要的是我們要找到壓力，然後進行平均，因為每次碰撞的平均動量乘以每次碰撞的平均次數不等於平均每秒動量。