茱莉亞集和曼德勃羅集的圖片/歷史

牛頓

早在古代，人們就知道，如果分數 $x_{0}$ 接近 √a，那麼分數 $x_{1}=(x_{0}+a/x_{0})/2$ 是對 √a 的更好的近似值。因為如果 $x_{0}$ 是對 √a 的近似值，它小於 √a，那麼 $a/x_{0}$ 是對 √a 的近似值，它大於 √a，反之亦然，因此 $x_{1}=(x_{0}+a/x_{0})/2$ 比 $x_{0}$ 和 $a/x_{0}$ 都要接近 √a。當然，我們可以重複這個過程，而且它非常有效：如果你從 $x_{0}$ = 1.5 開始，並應用該過程三次，你將得到一個具有十位正確數字的 √a 的近似值。

要找到 $a$ 的平方根，就是解方程 $x^{2}-a=0$ ，我們透過迭代 $x$ → $(x+a/x)/2$ 解了這個方程。而當我們沒有公式，或者當 - 在計算機發明後 - 這種方法看起來過於繁瑣時，我們必須應用這種方法來解方程。

是牛頓描述了這個一般性的過程：如果 $f(x)$ 是一個（連續的）可微函式，並且在接近 $x=x_{0}$ 的地方與 x 軸相交，我們從 $x_{0}$ 開始，進行多次迭代 $x$ → $x-f(x)/f'(x)$ ，我們就能得到方程 $f(x)$ = 0 的解 *x* 的一個良好的近似值（因為我們假設 $f(x)$ 與 x 軸相交， $f'(x)$ <> 0，在 *x* 的附近，那裡 $f(x*)$ = 0）。

這種方法可以推廣，使其適用於 $f'(x*)$ = 0 的情況，但是如果 $f'(x)$ 在 *x* 收斂到 *x* 時收斂到 ∞，就像 $f(x)=x^{1/3}$ 和 *x* = 0 的情況一樣，那麼這個過程就會導致遠離解。

有些情況下，透過這種方法無法找到解，也可能存在一些點，它們的迭代序列要麼收斂到一個包含多個點的迴圈，要麼不收斂。英國數學家阿瑟·凱萊在 1879 年發表的一篇只有一頁的論文中宣稱，這個問題需要更深入的研究。他知道牛頓法也可以用來求解複方程 $f(z)$ = 0，他建議我們“暫時拋開現實”，看看當迭代不收斂到解時會發生什麼。但這僅僅是他對這一理論的唯一貢獻。

朱利亞和法圖

30 年過去了，才有人開始關注這個問題。但是，兩位法國數學家加斯頓·朱利亞（1893-1978）和皮埃爾·法圖（1878-1929）發表了論文，他們在論文中研究了通用的復有理函式的迭代，並證明了我們在這裡用到的關於“朱利亞”集和“法圖”域的所有事實。當然，朱利亞和法圖無法繪製出詳細的影像來顯示用於求解方程 $z^{3}$ = 1 的牛頓迭代的朱利亞集，例如，但他們知道這種情況下朱利亞集不是一條曲線。凱萊當然認為平面將被幾何曲線分割，如果他真的這樣認為，也並非不可原諒，因為對於所謂的弱牛頓法確實如此：它收斂速度較慢，但更安全地收斂到解。

我們已經暗示過，我們關於朱利亞集的主要結果是朱利亞和法圖已知的。但這並不完全正確，因為中性情況下迭代序列可以進入環形旋轉運動的事實，是德國數學家 C.L. 西格爾在 1942 年首次發現的。我們已經說過，這些旋轉運動可以是多邊形或環形的，它們是同心排列的，並且存在一個有限迴圈作為這些運動的中心。讀者可能想知道：這個中心迴圈屬於法圖域還是朱利亞集？我們現在將回答這個問題。在關於場線的章節中，我們定義了一個複數 $\alpha$ ，在吸引情況下，它的模小於 1，但在中性情況下，它的模等於 1，因此對應於一個角度（它的幅角）。當這個角度是有理數（相對於 $2\pi$ ）時，終端運動是有限的（多邊形的，即拋物線情況），並且中心迴圈屬於朱利亞集；當角度是無理數時，終端運動是無限的（環形的，即西格爾圓盤情況），並且中心迴圈屬於法圖域。

曼德勃羅

但在 20 世紀 70 年代後期，Benoit B. Mandelbrot（1924-2010）開始使用計算機認真研究 Julia 集之前，這個理論並沒有取得太多進展。正是 Mandelbrot 創造了分形幾何這個詞。他曾師從 Julia（在巴黎綜合理工學院），大約在 1964 年，他開始了他的“各種深入未知領域的冒險之旅”。但最初他研究的分形圖案在嚴格意義上是自相似的，即在線性變換下保持不變。直到 1978-79 年，他開始研究有理複函式的 Julia 集。他製作了一些列印輸出，並研究了由乘以復引數 $\lambda$ 形成的有理複函式族。他的目的是讓計算機繪製一個引數集 M，這些引數 $\lambda$ 的 Julia 集不是（完全）不連通的（“分形塵埃”）。這樣的程式可以做得非常簡單：他找到了該函式的兩個臨界點，並繪製了使這兩個臨界點不會迭代到同一個迴圈中的點 $\lambda$ 。因為這樣至少有兩個 Fatou 域，因此 Julia 集就不會是塵埃雲。他選擇了函式，他知道一個實引數值 $\lambda$ ，使得迭代在某個實數區間上表現出混沌，因為這樣這個 $\lambda$ 可能屬於他的集合 M。

他（在 1979 年）從族 $\lambda (1+z^{2})^{2}/(z(z^{2}-1))$ （具有四個實數臨界點和兩個虛數臨界點）開始。對於 $\lambda$ = 1/4，它在一個區間上表現出混沌，他“感覺為了得到一個具有豐富結構的集合，最好選擇一個複雜的對映（我後來觀察到的每個初學者都採用了同樣的策略）”。當 $\lambda$ 在複平面上變化時，影像顯示了一個高度結構化但非常模糊的集合“陰影”。一個非常斑駁的版本，但“它足以表明這個主題值得研究，但最好在一個更簡單的環境中進行”。

然後（在 1980 年）他研究了族 $\lambda z(1-z)$ （具有臨界點 1/2 和 ∞），對於 $\lambda$ = -2 和 4，它在區間 [-2, 2] 上表現出混沌。他看到了兩個半徑為 1 的圓盤，圓心在 0 和 2： “兩行代數證實了預期中的這兩個圓盤，以及方法的有效性。我們還在上面圓盤的左右兩側的實軸上看到了圓形斑點的粗略輪廓，我今天稱之為“原子”。它們似乎被 Myrberg 理論中已知的區間二等分，這鼓勵我們繼續進行越來越大膽的計算。一段時間內，每一筆計算投資都產生了越來越清晰的影像。在想象力的幫助下，我看到原子形成了一個層次結構，每個原子都帶有附著在其上的較小的原子”。

“然而，之後，我們的運氣似乎破滅了；我們的圖片，並沒有變得越來越清晰，反而變得越來越混亂。這是 Textronix [陰極射線管（“磨損且非常微弱”）] 故障嗎？”Mandelbrot 在另一臺計算機上運行了程式：“混亂並沒有消失！事實上，正如你所檢查的那樣，它表現出系統性。我們立即仔細觀察。許多汙點在放大後確實消失了。但有些汙點沒有消失；事實上，它們證明分解成複雜的結構，這些結構具有與整個集合 M 非常相似的“芽”。Peter Moldave 和我抑制不住興奮。一些原因讓我們使用等效對映 z → $z^{2}-c$ 重新執行整個計算，而這裡集合 M 的主要大陸被證明形狀與每個島嶼相同！接下來，我們關注與不同分叉階數對應的芽，並將它們與相應的離岸島嶼進行比較。結果證明它們位於對數螺旋的星形圖案的交點上！(...) 我們繼續以這種方式在集合 M 和選定的 Julia 集 J 之間切換，並取得了一個激動人心的發現。我發現集合 M 不僅僅是一個數值記錄，記錄了極限迴圈中的點數。它也具有不可思議的“象形文字”特徵：在它本身內部包含了所有 Julia 集的整個變形集合，這些集合的尺寸縮小了”。

參考文獻

曼德布羅特，B.B.：分形與迭代理論的復興。見：佩特根 & 裡希特：分形的美麗（1986），第 151-160 頁（在這篇文章中，你可以看到曼德布羅特對最後一張圖片的前兩次列印）。

曼德布羅特，B.B.：z → $\lambda z(1-z)$ 迭代的分形方面。對於複數 $\lambda$ 和 z。見：非線性動力學，紐約科學院年鑑 357（1980），第 249-259 頁。