Julia 和 Mandelbrot 集的圖片/附錄

Julia 和 Mandelbrot 集在 1980 年代開創了新的領域

Julia 和 Mandelbrot 集是第一個在 1980 年代真正讓世界驚歎的分形。這些圖片展示了與以前任何已知事物完全不同的模式，超出了任何人的想象。它們還可以擁有真正的美。迄今為止已知的分形模式是一些具有或多或少有趣的數學性質的集合，當它們可以被視覺化時，它們可以呈現出發人深省的形狀，但它們並不像新型別那樣令人印象深刻。

分形藝術的流行

由於 Julia 和 Mandelbrot 集——尤其是繪製它們軟體的簡單性——分形的概念變得非常流行。此概念此後已變得非常普遍，導致了各種各樣的分形藝術。這一發展揭示了模式中存在的極端變化。已經制作了具有巨大藝術價值或展示了精巧的數學作品的圖片和動畫。然而，所有嚴肅的工作都集中在改善 Julia 和 Mandelbrot 集的基本呈現之外的其它事物上。以“純粹”形式的分形集圖片，沒有藝術性的修飾，似乎不像 1980 年代那樣吸引人們，對基礎改進的工作也退居其次。

對“標準”渲染中缺陷的認識不足

直到 2000 年初，關於基本繪圖技術的進展很少或沒有。直到 2003 年，還沒有繪製邊界的一張圖片，除了通常的 Mandelbrot 集及其 Julia 集的一些圖片。基於真實迭代次數的著色也只在迴圈是固定點時才真正有效，即使在那裡也會導致可避免的“條帶”效應，然而這種著色幾乎被普遍使用，即使迴圈不是固定點。此外，直到 2000 年初，還沒有一張 Mandelbrot 集是從兩個有限且不同的臨界點構建的。

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  從一個不是臨界點的點構建的 Mandelbrot 集；渲染沒有邊界，著色有跳躍
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  使用兩個不同的臨界點構建的 Mandelbrot 集；在上面部分顯示邊界，著色連續

上面的兩張圖片展示了渲染分形比常用方法更具數學正確性和審美上的機會。右側圖片正確顯示了邊界，並且沒有條帶效應。這種改進的機會真的存在嗎？難道在 Julia 和 Mandelbrot 集問世二十年後，只有現在才開始出現技術上完美的圖片嗎？

一種可能的解釋

關於 Mandelbrot 和 Julia 集最有影響力的書可能是 Peitgen & Richter：分形的美麗，出版於 1986 年。在這本書中，您可以看到 Mandelbrot 集的第一張真實圖片，因為它們是透過距離估計繪製的，並且是黑白的。Mandelbrot 在放大他的集合時看到了令人興奮的模式——對數螺旋的星形模式，以及令人不安和“象形文字”的縮小版 Julia 集——但他只看到了這一切，因為他的最大迭代次數很低。下面的右側圖片，帶有邊界和最大迭代次數 10,000，顯示了 Mandelbrot 集應該是什麼樣子。左側圖片的數學精度較低，使用 1,000 次迭代，並且沒有計算邊界。如果左側圖片繪製的最大迭代次數與 10,000 相同，但仍然沒有邊界計算，我們只會看到在右側影像中心可見的迷你曼德布羅特。其他細節將“太精細”，無法看到。

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  沒有邊界計算，最大迭代次數為 1,000
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  有邊界計算，最大迭代次數為 10,000

有缺陷的示例程式帶來的誤解

分形的美麗一書給出了一個幾乎正確的計算機程式，用於計算右圖中所示的距離估計。這種方法沒有得到推廣的一個可能原因是，該程式中的過程存在嚴重缺陷：$z_{k}$ 的計算是在 $z'_{k}$ 計算之前完成的，而不是應該在之後完成（$z'_{k+1}$ 使用的是 $z_{k}$ 而不是 $z_{k+1}$）。為了避免再次計算 $z_{k}$（k = 0, 1, 2, ...），該序列被儲存在一個數組中。使用該陣列，$z'_{k+1}=2z_{k}z'_{k}+1$ 被計算到最後一個迭代次數，並且指出可能會發生溢位。如果發生溢位，則認為該點屬於邊界（跳出條件）。如果未發生溢位，則可以執行距離計算。除了溢位不可能發生之外，該方法還使用了不必要的儲存和迭代重複，使其不必要地更慢且更不吸引人。書中的以下評論也不吸引人：“結果表明，影像對各種選擇非常敏感”（跳出半徑、最大迭代次數、溢位、邊界厚度和放大因子）。難道是這些胡說八道讓大家失去了使用和推廣該方法的慾望嗎？