Julia 集和 Mandelbrot 集的圖片/術語

所有定義都適用於平面上的點、函式、子集等。我們將平面的點與複數和向量相對應。

聚點（或聚點，或極限點）對於一個集合：一個點z，使得z的每個鄰域都包含該集合的點

邊界對於一個集合：包含該集合和該集合補集的聚點的點集

Cauchy-Riemann 方程對於一個可微函式 $f(x,y)=f_{x}(x,y)+if_{y}(x,y)$ 將平面對映到自身：兩個方程

${\frac {\partial }{\partial {x}}}f_{x}={\frac {\partial }{\partial {y}}}f_{y}$ 和 ${\frac {\partial }{\partial {y}}}f_{x}=-{\frac {\partial }{\partial {x}}}f_{y}$

如果它們滿足，該函式將作為複函式可微

心形線：一個心形曲線（由一個圓上的固定點在另一個半徑相等的圓上滾動時生成）

閉集：一個集合，其補集為一個開集

複數：一個“二維”數，一個形式為(x, y)的數，其中 x 和 y 是實數，這樣的對通常寫成x+iy，其中x和y由虛數單位i隔開，滿足 $i^{2}=-1$

收斂：一個序列 $z_{i}$（i = 0, 1, 2, ...）收斂到點z*，如果對於z*的每個鄰域U，都存在一個數 N，使得 $z_{i}$ 屬於U，對於 i > N。該序列收斂到階數為r的有限迴圈C，如果對於迴圈的每個點z*，序列 $z_{n+ir}$（對於某個 n）收斂到z*

可數集：一個可以與自然數建立一一對應的集合，有理數是一個可數集

臨界點對於一個復可微函式 f(z)：其導數 f'(z) 的零點

迴圈：平面上的一組有限點，它可能包含點無窮大，它的元素個數稱為它的階數

導數（或微商）對於點z*上的複函式f(z)：該數

$f'(z*)=(df(z)/dz)_{z=z*}=\lim _{h\to 0}(f(z*+h)-f(z*))/h$

（h 複數）如果它存在

行列式對於 2x2 矩陣 {$a_{ij}$}: 實數 |{$a_{ij}$}| = $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$

全純（或解析）函式：在一個平面的開集上定義的複函式，在該開集的每個點上都可微，這樣的函式具有所有階的導數

內點對於一個集合：一個點z，使得z的某個鄰域包含在該集合中

迭代: 對同一個函式 f(z) 進行重複運算：$z_{1}=f(z_{0}),z_{2}=f(z_{1}),z_{3}=f(z_{2}),...$

lim: 如果序列 $a_{n}$ (n = 0, 1, 2, ...) 收斂於數 a，則寫作 lim_{n → ∞} a_n = a，如果函式 f(z) 的值在 z 收斂於 z* 時收斂於 a，則寫作 lim_{n → ∞} f(z) = a

矩陣: 一個由數字組成的矩形陣列 {$a_{ij}$} (i = 1, ..., m, j = 1, ..., n)

鄰域: 點 z 的一個包含以 z 為中心的（小）圓的集合

牛頓迭代法: 用於求解方程 g(z) = 0 的迭代函式為 $f(z)=z-g(z)/g'(z)$，如果由某點生成的迭代序列收斂於不動點，則該不動點為方程 g(z) = 0 的解

模: 複數 z = x+iy 的模是實數 |z| = √(x² + y²) ≥ 0

開集: 一個集合，其所有點都是內點

對 x 的偏導數: 函式 f(z) 在點 z 處的對 x 的偏導數為

$\partial f(z)/\partial {x}=lim_{h\to 0}(f(z+h)-f(z))/h$

其中 h 是實數（如果它存在）

對 y 的偏導數: 函式 f(z) 在點 z 處的對 y 的偏導數為

$\partial f(z)/\partial {y}=lim_{h\to 0}(f(z+ih)-f(z))/h$

其中 h 是實數（如果它存在）

多項式: n 次多項式是指形如 $a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+...+a_{n}z^{n}$ 的函式

有理函式: 形如 p(z)/q(z) 的函式，其中 p(z) 和 q(z) 是多項式

兩個向量的標量積 $v_{1}$ = {$x_{1}$, $y_{1}$} 和 $v_{2}$ = {$x_{2}$, $y_{2}$}： 實數 $v_{1}*v_{2}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=|v_{1}||v_{2}|cos(\theta )$，其中 $\theta$ 是 $v_{1}$ 和 $v_{2}$ 之間的夾角。

超越函式： 一個無法用有限步數從初等函式及其反函式構造出來的函式，例如： $sin(z)=z-z^{3}/3!+z^{5}/5!-z^{7}/7!+...$，其中 n! = 1x2x3x...xn

不可數集： 一個不可數的集合，這樣的集合（屬於平面）可以與實數建立一一對應。

複數運算規則

i² = -1

(x₁ + iy₁) + (x₂ + iy₂) = (x₁ + x₂) + i(y₁ + y₂)

(x₁ + iy₁)(x₂ + iy₂) = (x₁x₂ - y₁y₂) + i(x₁y₂ + x₂y₁)

(x₁ + iy₁)/(x₂ + iy₂) = ((x₁x₂ + y₁y₂) + i(-x₁y₂ + x₂y₁))/ (x₂² + y₂²)

複數 $z=x+iy$ 的共軛數是 $z^{-}=x-iy$，即 z 關於 x 軸的對稱點。z 的模是實數 |z| = √(x² + y²)。我們有 $|z|^{2}=zz^{-}$。由此，我們可以推匯出除法規則： $z/w=zw^{-}/(ww^{-})=zw^{-}/|w|^{2}$.

複數 z = x + iy 可以寫成

$z=r(sin(\theta )+icos(\theta ))$

其中 r 是 z 的模長

r = |z| = √(x² + y²)

以及角度 $\theta$ 是 z 的幅角 arg(z)

$\theta$ = arctan(y/x) 當 x > 0 時

$\theta$ = arctan(y/x) + $\pi$ 當 x < 0 時

arg(z) 是多值的: arg(z) = $\theta +n2\pi i$, 對於所有整數 n。

點 $sin(\theta )+icos(\theta )$ (位於單位圓上) 也記作 $e^{i\theta }$, 我們定義指數函式 $exp(z)$ 為

$exp(z)=e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}$

正弦和餘弦關係 可以寫成

$cos(\theta _{1}+\theta _{2})+isin(\theta _{1}+\theta _{2})=(cos\theta _{1}+isin\theta _{1})(cos\theta _{2}+isin\theta _{2})$

由此可見，$e^{z}$ 對於虛數 z 具有指數性質

$e^{i(\theta _{1}+\theta _{2})}=e^{i\theta _{1}}e^{i\theta _{2}}$

對數函式 log(z) 定義為 exp(z) 的反函式：log(z) = w 當 exp(w) = z 時。我們有 log(z) = log|z| + i arg(z)。log(z) 是多值的：$log(z)=w+n2\pi i$, 對於所有整數 n。

對於一個正實數 a 和一個複數 z，我們定義 $a^{z}=e^{log(a)z}$. 對於一個複數 z，冪 $z^{n}$ 僅當指數 n 為整數時才定義。

可微複函式

在複平面上的一個開域上定義的複函式，如果它在這個域的每個點處都可微，則稱之為全純（或解析）。如果是這樣，導函式 f'(z) 也在每個點處可微（這個定理對實函式不成立）。我們有通常的微分規則

$d(f(z)+g(z))/dz=df(z)/dz+dg(z)/dz$

$d(f(z)g(z))/dz=(df(z)/dz)g(z)+f(z)(dg(z)/dz)$

$(d(f(g(z))/dz)_{z*}=(df(z)/dz)_{g(z*)}(dg(z)/dz)_{z*}$

$dz^{n}/dz=nz^{n-1}$ (n 為整數)

$da^{z}/dz=log(a)a^{z}$ (a 為正實數)

$d(exp(z))/dz=exp(z)$

$d(log(z))/dz=1/z$

根據這些規則，我們可以推匯出所需的一切，例如

$d(f(z)^{-1})/dz=-f'(z)/f(z)^{2}$

$d(log(f(z)))/dz=f'(z)/f(z)$

對於計算機來說，找到 f'(z) 很容易：f'(z) = (f(z+h) - f(z))/h，例如，對於 $h=10^{-9}$。

函式對實數的導數

平面域上的實函式 f(z) 在點 z 可微，如果

lim_{t → 0} (f(z + th) - f(z))/t

(t 為實數) 對於任何複數 h 存在，並且如果由此定義的函式 $Df(z)(h)$ 從複數 (h) 到實數滿足 $Df(z)(h_{1}+h_{2})=Df(z)(h_{1})+Df(z)(h_{2})$。由於我們也有 $Df(z)(th)=tDf(z)(h)$，其中 t 為實數，這個對映是線性的。它被稱為 f(z) 在點 z 處的導數。

線性意味著 $Df(z)$ 由兩個實數 $Df(z)(1)$ 和 $Df(z)(i)$ 決定。它們分別用 ∂f(z)/∂x 和 ∂f(z)/∂y 表示，被稱為關於 x 和 y 的 *偏導數*。我們有對於 $h=h_{x}+ih_{y}$

Df(z)(h_x + ih_y) = (∂f(z)/∂x)h_x + (∂f(z)/∂y)h_y

這個數字是向量 (∂f(z)/∂x, ∂f(z)/∂y) 和 ($h_{x},h_{y}$) 的點積，所以，如果我們將 Df(z) 和 h 看作向量，我們可以寫成

Df(z)(h) = Df(z)*h.

向量 Df(z) 被稱為 f(z) 在點 z 處的 **梯度**：Df(z) 的方向是增長最快的方向，Df(z) 的長度是 f(z) 在這個方向上的增長。

如果 ∂f(z)/∂x 和 ∂f(z)/∂y 存在於 z* 的鄰域中，並且在 z* 中是連續的，那麼 f(z) 在 z* 中是可微的。

平面對映的導數

如果 f(z) 是一個從平面的一個域到平面的對映，我們可以寫成 $f(z)=f_{x}(z)+if_{y}(z)$，其中 $f_{x}(z)$ 和 $f_{y}(z)$ 是實函式。f(z) 被稱為在點 z 中是可微的（作為實函式），如果 $f_{x}(z)$ 和 $f_{y}(z)$ 都在 z 中是可微的。如果是這樣，我們就有一個從複平面到自身的線性對映 Df(z)，由 $Df(z)(h)=Df_{x}(z)(h)+iDf_{y}(z)(h)$ 給出。這個線性對映被稱為 f(z) 在點 z 處的導數。

線性意味著 Df(z) 由兩個複數 Df(z)(1) (= ∂f_x/∂x + i∂f_y/∂x) 和 Df(z)(i) (= ∂f_x/∂y + i∂f_y/∂y) 決定，我們有

Df(h_x + ih_y) = ((∂f_x/∂x)h_x + (∂f_x/∂y)h_y) + i((∂f_y/∂x)h_x + (∂f_y/∂y)h_y)

用矩陣表示法，這意味著 Df(z) 是從平面到自身的線性對映，由

${\begin{bmatrix}\partial f_{x}/\partial {x}&\partial f_{x}/\partial {y}\\\partial f_{y}/\partial {x}&\partial f_{y}/\partial {y}\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}h_{x}\\h_{y}\\\end{bmatrix}}$

f(z) 作為複函式是可微的，意味著這種乘法對應於與複數 f'(z) 相乘，而這種情況恰好發生在 Cauchy-Riemann 方程成立時

${\frac {\partial }{\partial {x}}}f_{x}={\frac {\partial }{\partial {y}}}f_{y}$ 和 ${\frac {\partial }{\partial {y}}}f_{x}=-{\frac {\partial }{\partial {x}}}f_{y}$

滿足 - 這兩個數字是 f'(z) 的實部和虛部。

矩陣計算

矩陣 是一個由實陣列成的矩形陣列。我們只需要 1 或 2 邊的矩陣。也就是說，要麼是 2x2 矩陣（二次矩陣）

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}$

或者 1x2 矩陣（行矩陣）：{a, b}，或者 2x1 矩陣（列矩陣）

${\begin{bmatrix}a\\b\\\end{bmatrix}}$

或 1x1 矩陣：{a}，與數字 a 相同。

矩陣的轉置 是透過對角線反射形成的矩陣。該操作用 * 表示，這意味著我們可以用 {a, b}* 表示列矩陣 - 行矩陣 {a, b} 的轉置。

兩個相同型別的矩陣 A 和 B 可以透過將對應位置的數字相加來相加。我們透過將矩陣的每個元素乘以該數字來將矩陣乘以一個實數。

兩個矩陣 A 和 B，其中 A 的寬度等於 B 的高度，可以相乘：結果是一個矩陣 AB，其高度是 A 的高度，其寬度是 B 的寬度。

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a\alpha +b\gamma &a\beta +b\delta \\c\alpha +d\gamma &c\beta +d\delta \\\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}\alpha \\\beta \\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a\alpha +b\beta \\c\alpha +d\beta \\\end{bmatrix}}$

乘積 {a, b}{$\alpha ,\beta$}* 是數字 $a\alpha +b\beta$（向量 {a, b} 和 {$\alpha ,\beta$} 的標量積）和乘積 {a, b}*{$\alpha ,\beta$} 是 2x2 矩陣

${\begin{bmatrix}a\alpha &a\beta \\b\alpha &b\beta \\\end{bmatrix}}$

二次矩陣 A 的行列式為：

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}$

實數 det(A) = |A| = ad - bc。單位矩陣 I 為：

${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}$

2x2 矩陣 A 的逆矩陣為 2x2 矩陣 $A^{-1}$，滿足 $AA^{-1}=A^{-1}A=I$。它由：

${\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\\\end{bmatrix}}$

除以 |A| - 因此它僅在 |A| <> 0 時存在。

平面的點可以用列矩陣 {x, y}* 來識別。因此，2x2 矩陣 A 確定了平面到自身的線性對映：{x, y}* → A{x, y}*。如果 |A| <> 0，則它是單射的（進而是雙射的）。如果是這樣，則數字 |A| 是單位正方形影像的面積（如果 |A| 為負，則對映改變方向）。同樣地，平面的向量可以用行矩陣 {a, b} 來識別。行矩陣 {a, b} 確定了平面到實數的線性對映：{x, y}* → {a, b}{x, y}* = ax + by（向量 {a, b} 和 {x, y} 的標量積）。複數 z = x + iy 可以用列矩陣 {x, y}* 和 2x2 矩陣來識別：

${\begin{bmatrix}x&-y\\y&x\\\end{bmatrix}}$

由該矩陣給出的平面到自身的對映，是乘以複數 z。