Julia 集和 Mandelbrot 集的圖片/Julia 集和 Fatou 域

設 $f(z)$ 是從複平面 $\mathbb {C}$ 到自身的可微對映。我們首先假設 $f(z)$ 作為複函式是可微的，也就是說， $f(z)$ 是一個全純函式，因此可以像我們想的那樣多次微分。此外，我們假設 $f(z)$ 是有理的，也就是說， $f(z)=p(z)/q(z)$ ，其中 $p(z)$ 和 $q(z)$ 都是復多項式。如果 $p(z)$ 和 $q(z)$ 的次數分別為 m 和 n，我們稱 *d = m - n* 為 $f(z)$ 的次數。

Julia 集的理論從這個問題開始：當我們迭代一個點 *z* 時會發生什麼，也就是說，當我們形成序列 $z_{k}$ （*k = 0, 1, 2, ...*）時會發生什麼，其中 $z_{k+1}=f(z_{k})$ 且 $z_{0}=z$ 。

三種可能性

每個迭代序列都屬於以下三類之一

1: 該序列 *收斂* 到一個有限的點迴圈，並且 *z* 附近所有點在足夠小的鄰域內都收斂到同一個迴圈。

2: 該序列 *進入* 一個有限的迴圈（有限的）多邊形形狀或（無限的）環形形狀旋轉運動，並且 *z* 附近的所有點在足夠小的鄰域內都進行類似的但同心運動。

3: 該序列 *進入* 一個有限的迴圈，但 *z* 具有這種性質是孤立的，*或者*：對於 *z* 附近所有點 *w*，*z* 和 *w* 的迭代之間的距離大於 *z* 和 *w* 之間的距離。

在第一種情況下，迴圈是 *吸引* 的，在第二種情況下，迴圈是 *中性* 的（在這種情況下，存在一個 *中心* 的有限迴圈），在第三種情況下，迭代序列是 *排斥* 的。

點 *z* 的集合，其迭代序列收斂到同一個吸引迴圈或進入同一個中性迴圈，是一個開集，稱為 $f(z)$ 的 *Fatou 域*。這些域的並集的補集（滿足條件 3 的點）是一個閉集，稱為 $f(z)$ 的 *Julia 集*。

Julia 集總是非空且不可數的，並且它是*無限薄*的（沒有內點）。它不受 $f(z)$ 的影響，並且這裡的迭代序列表現出混沌現象（除了可數的有限序列點）。Julia 集可以是一條簡單的曲線，但通常是一個分形。

關於復有理函式迭代的均值定理如下：

每個 Fatou 域都有相同的邊界。

因此，共同邊界就是 Julia 集。這意味著 Julia 集的*每個*點都是每個 Fatou 域的*累積點*。

如果存在兩個以上的 Fatou 域，我們可以推斷 Julia 集一定是一個分形，因為 Julia 集的*每個*點都有來自兩個以上不同開集的點無限靠近，但這是“不可能的”，因為平面只有二維。

因此，如果我們以特定方式構建 $f(z)$ ，我們可以確定 Julia 集是一個分形。這是求解方程 $g(z)=0$ 的牛頓迭代的情況。這裡 $f(z)=z-g(z)/g'(z)$ ，並且可以透過迭代找到的解屬於不同的 Fatou 域（由迭代到該解的點組成）。第一張圖顯示了求解 $g(z)=z^{5}-1$ 的牛頓迭代的 Julia 集。但 Julia 集也可以因其他原因成為分形，下一張圖顯示了形式為 $1000(1-z)/(8-4z+2z^{2}-z^{3})+c$ 的迭代的 Julia 集，這裡只有一個 Fatou 域。

臨界點

首先，我們必須找到所有 Fatou 域。由於 Fatou 域可以透過知道其中的一個點來確定，所以我們必須找到一個點集，使得每個 Fatou 域都包含這些點中的至少一個。這很容易做到，因為

每個 Fatou 域都包含 $f(z)$ 的至少一個臨界點。

$f(z)$ 的*臨界點*是指滿足 $f'(z)=0$ 的（有限）點*z*，或者如果 $f(z)$ 的次數*d* 至少為 2，或者如果 $f(z)=1/g(z)+c$ 對於某個*c* 和滿足此條件的有理函式 $g(z)$ 則*z* = ∞。

由於我們已經預設 f(z) 是有理函式，這意味著 Fatou 域的數量是有限的。

我們可以透過牛頓迭代找到 $f'(z)=0$ 的解：如果*z*是解，則透過 $z$ → $z-f'(z)/f''(z)$ 對*z*附近的點進行迭代。我們可以對平面中大量規則分佈的點應用牛頓迭代，並記錄不同的臨界點（如果起始點屬於迭代的 Julia 集，它不一定導致解，同樣，我們也不能完全確定我們會捕獲所有臨界點，但對於我們的任務，我們應該不在乎這一點）。

這裡我們只處理吸引的 Fatou 域：中性域無法以自然的方式著色，除非 $f(z)$ 特別選定，在實踐中 Fatou 域不可能是中性的。

我們可以用以下方法找到不同的吸引 Fatou 域：我們對每個臨界點進行大量迭代（或者如果迭代點在數值上大於給定的大數，則停止迭代），使得迭代點 z* 非常接近其終點，該終點可能是一個包含 ∞ 的迴圈，並且我們繼續迭代直到該點再次非常接近 z*。用於此的迭代次數 r(z*) 是迴圈的階數。此後，我們透過刪除屬於以前註冊迴圈的點 z* 來註冊不同的迴圈。這組點對應於 Fatou 域的集合。

一個 Fatou 域可以包含幾個臨界點，從 Fatou 域中的臨界點數量，我們可以說一些關於 Julia 集的連通性：Fatou 域中的臨界點越少，Julia 集就越連通。

迴圈的吸引力

為了以自然和平滑的方式對 Fatou 域進行著色，除了迴圈的階數外，我們還必須知道它的吸引力 $\alpha$ - 一個大於 1 的實數

對於指向階數為 r 的吸引迴圈的迭代，我們有，如果 z* 是迴圈中的一個點，那麼 $f(f(...f(z*)))=z*$ （r 次複合），吸引力是數字 $\alpha =1/|(d(f(f(...f(z))))/dz)_{z=z*}|$ 。注意 $(d(f(f(...f(z))))/dz)_{z=z*}$ = 迴圈的 r 個點的 $f'(z_{i})$ 的乘積。如果 w 是一個非常接近 z* 的點，而 $w_{r}$ 是 w 迭代 r 次，我們有 $\alpha =$ lim_w→z* $|w-z*|/|w_{r}-z*|$ .

然而，這個數字 $\alpha$ 可以是 ∞，即如果迴圈包含一個臨界點（意味著臨界點在 *r* 次迭代後迭代到自身），在這種情況下，法圖域（和迴圈）被稱為 *超吸引*。我們現在設定 $\alpha =$ lim_w→z* $log|w_{r}-z*|/log|w-z*|$ 或者 $\alpha =$ lim_w→∞ $log|w_{r}|/log|w|$ 如果 *z* = ∞。

在最後一種情況下，即 ∞ 是一個臨界點並且 *屬於* 迴圈，我們有 *|d|* > 1 並且 $\alpha =|d|^{r}$ 。在這種情況下，我們假設 ∞ 是一個不動點 (*r* = 1)，因此 *d* ≥ 2 並且 $\alpha =d$ （因此我們忽略了像 $1/(z-c)^{2}+c$ 這樣的函式，其中吸引迴圈是 {*c*, ∞}）。

在使用牛頓迭代法求解方程 $g(z)=0$ （因此 $f(z)=z-g(z)/g'(z)$ ）的情況下，法圖域（包含解）是超吸引的，並且 $\alpha =2$ （如果解不是重根）。

給法圖域著色

我們的著色方法基於 *實際迭代次數*，它與法圖域的 *勢函式* $\phi (z)$ 相關聯。在這三種情況下，勢函式由下式給出

\phi (z)=

lim_k→∞

1/(|z_{kr}-z*|\alpha ^{k})

(非超吸引)

\phi (z)=

lim_k→∞

log(1/|z_{kr}-z*|)/\alpha ^{k}

(超吸引)

\phi (z)=

lim_k→∞

log|z_{k}|/d^{k}

(d ≥ 2 且 z* = ∞)

實際迭代次數取決於對一個非常小的數的選擇 $\epsilon$ （對於趨向有限迴圈的迭代）和一個非常大的數 N（例如 10¹⁰⁰，對於趨向 ∞ 的迭代），以及由 z 生成的序列，當滿足以下條件時停止： $|z_{k}-z*|<\epsilon$ 對於其中一個點 z*（對應於 Fatou 域）或 $|z_{k}|>N$ ，或者當達到一個選定的最大迭代次數 M 時（這意味著我們已經命中了 Julia 集，儘管這不太可能）。

如果迴圈不是不動點，我們必須將迭代次數 k 除以迴圈的階數 r，並取該數的整數部分。

如果我們計算 $\phi (z)$ 對於停止迭代的 k，並將 $|z_{k}-z*|$ 或 $|z_{k}|$ 分別用 $\epsilon$ 或 N 替換，我們必須將迭代次數 k 替換為一個實數，這就是實際迭代次數。它可以透過從 k 中減去一個在 [0, 1[ 區間內的數來找到，在三種情況下，它由以下公式給出：

log(\epsilon /|z_{k}-z*|)/log(\alpha )

(非超吸引)

log(log|z_{k}-z*|/log(\epsilon ))/log(\alpha )

(超吸引)

log(log|z_{k}|/log(N))/log(d)

(d ≥ 2 且 z* = ∞)

為了進行著色，我們必須選擇迴圈顏色尺度：無論是圖片還是數學或手動構造的尺度，透過選擇一些顏色並以連續的方式連線它們。如果尺度包含 H 種顏色（例如 600），我們將顏色從 0 到 H-1 編號。然後，我們將實際迭代次數乘以一個決定圖片中顏色密度的數，並取該積對 H 的模的整數部分。密度實際上是著色中最重要的因素，如果它選擇得當，我們可以得到很好的顏色搭配。然而，一些分形圖案似乎無法令人滿意地著色，在這些情況下，我們必須將圖片保持為黑白或中等灰色調。

著色 Julia 集

為了得到一張漂亮的圖片，我們還必須著色 Julia 集，否則 Julia 集只能透過著色 Fatou 域來觀察，而這種著色在 Julia 集附近變化劇烈，給人一種模糊的感覺（可以透過仔細選擇顏色尺度和密度來避免這種情況）。一個點 z 屬於 Julia 集，如果迭代不停止，也就是說，如果我們已經達到選定的最大迭代次數 M。但由於 Julia 集是無限薄的，而且我們只對規則排列的點進行計算，因此在實踐中我們無法用這種方式著色 Julia 集。但幸運的是，存在一個公式可以（直到一個常數因子）估計 Julia 集外部的點 z 到 Julia 集的距離。這個公式與一個 Fatou 域相關聯，並且該公式給出的數字越接近 Julia 集越準確，因此偏差沒有意義。

距離函式是指函式 $\delta (z)=\phi (z)/|\phi '(z)|$ （參見 *非複數函式的Julia集合和Mandelbrot集合* 部分），其等勢線必須大致均勻分佈。公式中出現了關於 *z* 的 $z'_{k}$ 的導數 $z_{k}$ 。但由於 $z_{k}=f(f(...f(z)))$ （k 次複合）， $z'_{k}$ 是數字 $f'(z_{i})$ （*i = 0, 1, ..., k-1*）的乘積，這個序列可以透過 $z'_{k+1}=f'(z_{k})z'_{k}$ 和 $z'_{0}=1$ （*在* 計算下一個迭代 $z_{k+1}=f(z_{k})$ *之前*）遞迴地計算。在三種情況下，我們有

\delta (z)=

lim_k→∞

|z_{kr}-z*|/|z'_{kr}|

(非超吸引)

\delta (z)=

lim_k→∞

log|z_{kr}-z*||z_{kr}-z*|/|z'_{kr}|

(超吸引)

\delta (z)=

lim_k→∞

log|z_{k}||z_{k}|/|z'_{k}|

(d ≥ 2 且 z* = ∞)

如果這個數字（針對最後一次迭代次數 kr 計算得出，需要除以 r）小於給定的小數字，則例如將點 z 著色為深藍色。

燈光效果

我們可以透過使用燈光效果，使某些圖案的著色更具吸引力。我們假設我們將勢函式或距離函式繪製在帶有分形的平面上，並且從給定方向（由兩個角度確定）照亮生成的丘陵景觀，並從正上方觀察。對於每個點，我們對另外兩個非常接近該點的點進行真實迭代次數的計算，一個在 x 方向，另一個在 y 方向。這三個真實迭代次數的值在空間中形成一個小的三角形，我們用該三角形的法線（單位）向量與光方向的單位向量形成標量積。將標量積乘以一個確定光效果的數字後，我們將該數字新增到真實迭代次數（乘以密度數字）。

除了真實迭代次數，我們還可以使用從距離函式構造的相應實數。真實迭代次數通常給出最佳結果。使用距離函式等同於形成分形景觀並從正上方觀察它。

當 $f(z)$ 是一個多項式，並且當迴圈是超吸引時，效果通常最好，因為勢函式或距離函式的奇點會產生凸起，這可能會破壞著色。

場線

在一個法圖域（不是中性的）中，存在一個與等勢線系統正交的線系統，該系統中的線稱為場線。如果我們根據迭代次數（不是真實迭代次數）對法圖域進行著色，則迭代帶將顯示等勢線的走向，也顯示場線的走向。如果迭代走向 ∞，我們可以很容易地顯示場線的走向，即透過根據最後序列點位於 x 軸上方還是下方來改變顏色，但在這種情況下（更準確地說：當法圖域是超吸引時），我們無法連貫地繪製場線（因為我們使用 $f'(z_{i})$ 迴圈點的乘積的幅角）。對於一個吸引迴圈 C，場線從迴圈點發出，並從迭代進入迴圈點的（無限多個）點發出。場線在朱利亞集上以非混沌點（即生成有限迴圈的點）結束。

令 r 為迴圈 C 的階數，令 z* 為 C 中的一個點。我們有 $f(f(...f(z*)))=z*$ （r 重複合），我們定義複數 $\alpha$ 為

\alpha =(d(f(f(...f(z))))/dz)_{z=z*}

.

如果C的點為 $z_{i}(i=1,2,...,r,z_{1}=z*)$ ， $\alpha$ 是r個數字 $f'(z_{i})$ 的乘積。實數 1/ $|\alpha |$ 是迴圈的吸引力，我們假設迴圈既不是中性的也不是超吸引的，這意味著 1 < 1/ $|\alpha |$ < ∞。點 z* 是 $f(f(...f(z)))$ 的不動點，並且在該點附近，對映 $f(f(...f(z)))$ 具有（與場線相關）旋轉的特徵，其幅角為 $\beta$ 的 $\alpha$ （因此 $\alpha =|\alpha |e^{\beta i}$ ）。

為了對法圖域進行著色，我們選擇了一個小數字 $\epsilon$ ，並將迭代序列 $z_{k}(k=0,1,2,...,z_{0}=z)$ 停止於 $|z_{k}-z*|<\epsilon$ 時，並根據數字k（或如果我們更喜歡平滑著色，則根據實際迭代次數）對點z 進行著色。如果我們從z* 選擇一個由角度 $\theta$ 給定的方向，則從該方向發出的z* 的場線由滿足以下條件的點z 組成

\psi -k\beta =\theta (mod2\pi )

.

因為如果我們沿著場線方向（遠離迴圈）透過迭代帶，迭代次數k增加 1，數字 $\psi$ 增加 $\beta$ ，因此數字 $\psi -k\beta (mod2\pi )$ 沿著場線是常數。

對法圖域場線的著色意味著我們對場線對之間的空間進行著色：我們從z*選擇一些規律分佈的方向，並在這些方向的每一個方向上選擇兩個方向。由於可能會發生兩個邊界場線不以朱利亞集的同一點結束的情況，我們著色的場線在通往朱利亞集的途中可能會（無限地）分叉。我們可以根據到場線中心線的距離進行著色，並且可以將這種著色與通常的著色混合使用。

令n為場線數，t為它們的相對厚度（區間[0, 1]中的一個數）。對於點z，我們已經計算了數字 $\psi -k\beta (mod2\pi )$ ，如果數字 $v=(\psi -k\beta (mod2\pi ))/(2\pi )$ （在區間[0, 1]中）滿足|v - i/n| < t/(2n)，其中i = 0, 1, ..., n，我們可以使用數字|v - i/n|/(t/(2n))（在區間[0, 1]中 - 到場線中心的相對距離）進行著色。

在第一張圖片中，函式的形式為 $z/2+1/(z-z^{3}/6)+c$ ，我們只對單個法圖域進行了著色。第二張圖片顯示，場線可以做得非常裝飾性（函式的形式為 $z/(1+z^{3})+c$ ）。

（彩色）場線被迭代帶分割，這樣的部分可以與單位正方形建立一一對應關係：一個座標是到一個邊界場線的相對距離，這個數字是(v - i/n)/(t/(2n)) + 1/2，另一個是到內部迭代帶的相對距離，這個數字是實際迭代數的非整數部分。因此，我們可以將圖片放入場線中。如果我們根據迭代次數和場線數對它們進行索引，我們可以根據需要放入任意數量的圖片。然而，似乎很難找到適合放置圖片的分形圖案 - 如果目的是具有藝術價值的圖片。但我們可以將繪製限制在場線內（並可能在嵌入的圖片中引入透明度），並讓場線外的域成為另一個分形圖案（第三張圖片）。

填充的朱利亞集

法圖域的補集稱為填充朱利亞集。它是朱利亞集和其他法圖域的並集。外部法圖域通常是包含∞的域，填充的朱利亞集通常用黑色著色，就像曼德爾布羅特集一樣。程式更容易編寫，但執行速度更慢，因為黑色的點會達到最大迭代次數。由於精細的朱利亞集通常只有一個法圖域，因此您也可以製作一個更容易的程式，該程式只對單個法圖域進行著色。您在外部法圖域中選擇一個點，並對該點進行大量迭代，以找到吸引迴圈，然後填充的朱利亞集包括未向該迴圈迭代的點。如果有理函式的次數至少為 2，那麼包含∞的法圖域的填充朱利亞集由其迭代序列保持有界的點組成。