認識論概述/計算機和功耗

認識論概述
計算機和功耗

計算機不能在不消耗能量的情況下執行。我們用熱力學原理證明了這一點，即第二類永動機的不可能原理。

第二類永動機

一臺機器，它可以在不供應能量的情況下抬起重量或移動汽車，可以製造出第一類永動機。能量守恆定律，即熱力學第一定律，禁止這種機器存在。它是物理學中最基本的法則之一。如果我們能發明這種機器，那麼所有物理學家都將是錯誤的，但沒有人曾經發明過它。

第二類永動機並不違反能量守恆定律。任何物體在冷卻時都能產生能量，除非它處於零溫度，即 0 開爾文 = -273.15 攝氏度 = -459.67 華氏度。所以我們可以想象一輛汽車、一艘船或一架飛機，它們可以在不消耗燃料的情況下前進。它只需要吸收室溫下的空氣或水，然後以更低的溫度排放。能量差將用於驅動發動機。

要使這種發動機工作，就必須能夠將溫度均勻的系統分成兩部分，一部分較熱，另一部分較冷。但這被熱力學第二定律所禁止，因為它會降低總熵。因此，第二類永動機的不可能性源於總熵不減定律，即熱力學第二定律。

麥克斯韋妖

麥克斯韋妖表明資訊可以轉化為功

考慮一個容器中的氣體。在中間放置一個隔板。它配備了一個小門，由一個檢測入射分子速度的裝置控制。只有當從左側來的分子速度快於平均速度，或者當從右側來的分子速度慢於平均速度時，它才打開門。這樣，右側隔室就被加熱，而左側隔室就被冷卻（麥克斯韋 1871）。這種溫差可以用來驅動熱機。

開門裝置就是一個麥克斯韋妖。它獲取可以轉化為功的資訊。因此，資訊是一種燃料。

麥克斯韋發明了他的“妖”是為了表明熵不減定律只是一個統計真理，如果能改變微觀成分的統計平衡，它就可以被違反。在那個時代，原子和分子的存在仍然是非常假設的。因此，考慮操縱它們的可能性是不可想象的。但一旦物質的微觀成分變得更加為人所知，一個像麥克斯韋妖一樣工作的機械裝置的可能性就可以被認真對待了。

迄今為止，我們觀察和操縱微觀成分的能力並不允許麥克斯韋想象的裝置實現，但掃描隧道顯微鏡使我們能夠觀察和操縱原子。然後，人們可以想象一種裝置，它允許在降低觀察系統的熵後恢復功，因此，這是一種理論上可行的麥克斯韋妖

考慮一個能夠在其表面容納原子的晶體。假設最初 $N_{A}$ 個原子隨機分佈在 $N_{S}$ 個位點上，並且溫度足夠低以至於它們停留在那裡。因此，它是一種冷凍的無序。我們首先觀察表面原子的精確構型，這可以用掃描隧道顯微鏡來完成，然後我們移動它們並用相同的顯微鏡將它們收集到表面的一部分 ${\frac {N_{A}}{N_{S}}}$ 上。顯微鏡的活動類似於對氣體的等溫壓縮功，只是它不是氣體，而是表面上的冷凍無序。

原則上，原子位移不需要任何功，因為撕裂原子的功可以在重新沉積過程中恢復。

為了將掃描隧道顯微鏡的活動轉化為功，我們將晶體的表面與一個體積為 $V$ 的空容器接觸，該容器的其他壁不能容納原子。該容器用一個可移動的壁分成左右兩部分，其體積分別為 $V_{G}={\frac {N_{A}}{N_{S}}}V$ 和 $V_{D}={\frac {N_{S}-N_{A}}{N_{S}}}$ 。加熱晶體以蒸發體積為 $V_{G}$ 的原子。然後允許所得氣體在整個容器中等溫弛豫，提供一個功 $W=N_{A}k_{B}T\ln {\frac {N_{S}}{N_{A}}}$ ，其中 $k_{B}$ 是玻爾茲曼常數， $T$ 是溫度。然後冷卻晶體，使原子重新沉積在晶體的表面。如果以一系列熱浴可逆地進行，則每個使用的熱浴在加熱過程中提供的熱量恰好等於它在冷卻過程中回收的熱量，因為氣體等容比熱不依賴於其體積。晶體和用於加熱它的熱浴已恢復到初始狀態。

用於等溫膨脹的熱浴放棄了部分熱量，這些熱量被轉化為功。因此，似乎我們已經實現了一種第二類永動機，因為裝置的其餘部分都已恢復到初始狀態。

對錶面上的原子進行排序的隧道顯微鏡必須由一個計算機控制，該計算機被程式設計為獲取原子並將它們沉積在合適的位點。由於熱力學第二定律禁止第二類永動機，因此該計算機必須消耗的能量至少等於等溫膨脹過程中提供的功 $W$ 。因此，計算機不能在不消耗能量的情況下工作。

人們假設一個吸收壁可以使一個任意大的體積形成完美的真空。這種壁不可能存在，否則就可以製造第二類永動機：裝滿原子的壁與一個空容器接觸，加熱到足夠高的溫度使所有原子都蒸發。然後允許氣體等溫弛豫以提供功。然後將氣體冷卻到足夠低的溫度，使所有原子重新沉積在吸收壁上。如果以可逆的方式進行，則每個熱浴在加熱過程中提供的熱量恰好等於它在冷卻過程中回收的熱量。因此，我們可以在從單個熱浴提取熱量後，提供功，並返回到初始狀態。

為了進行與熱力學定律相符的精確計算，有必要考慮與吸收壁接觸的氣體的平衡密度。這種密度不能為零，但它可以非常小，從先驗來看，如果壁的吸收性足夠強，它可以小到任何程度。這足以證明上面的計算，在上面的計算中，這種密度被忽略了。

Szilard 引擎

為了更好地理解資訊到功的轉化，Szilard (1929) 邀請我們思考一個使用“單分子氣體”工作的引擎。

一個分子被封閉在一個容器中，該容器可以用一個可移動的壁隔開。當將壁放置在容器的中央時，可以檢測到分子存在於兩個隔開的隔室中的哪一個。因此，獲得了一位資訊。然後將該壁用作一個活塞，分子可以在該活塞上做功。需要知道分子在哪裡才能知道活塞向哪個方向移動才能獲得功。這樣計算得出，在最佳條件下，一位資訊被用來獲得等於 $k_{B}T\ln 2$ 的功。這是分子在溫度為 $T$ 的等溫膨脹期間對活塞所做的功，該功使可達到的體積增加了一倍。

Szilard 引擎似乎與熱力學相矛盾，因為它表明我們可以製造第二類永動機。如果活塞只能向一個方向移動，則不需要知道分子位置就可以獲得功。在兩種情況下，活塞保持靜止，因為分子位於活塞的錯誤一側，我們沒有獲得任何功，但在兩種情況下，它會移動，我們獲得了等於 $k_{B}T\ln 2$ 的功。透過多次重複該實驗，我們就可以獲得任意數量的功，而無需花費任何功來了解分子位置。

但這種過程需要一個裝置來移除活塞並將其放回原位。現在，在迴圈結束時，活塞有兩個可能的位置，要麼位於中間（如果它沒有移動），要麼位於一端（如果它移動了）。因此，該裝置必須在每個迴圈結束時獲得一位資訊。為了恢復到初始狀態，它必須擦除該資訊。因此，擦除資訊的成本也是導致第二類永動機不可能的原因（Leff & Rex 1990）。

Szilard 定理的新證明

在原子沉積的晶體表面上，可能的構型數量等於 $(_{N_{S}}^{N_{A}})$ 種在 $N_{S}$ 個位點上放置 $N_{A}$ 個原子的方法數。因此，知道表面上原子固定無序所需的 $I$ 資訊量為

$I=\ln(_{N_{S}}^{N_{A}})=\ln {\frac {N_{S}!}{(N_{S}-N_{A})!N_{A}!}}=N_{S}\ln {\frac {N_{S}}{N_{S}-N_{A}}}+N_{A}\ln {\frac {N_{S}-N_{A}}{N_{A}}}$

我們使用了斯特林公式： $\ln N!\approx N\ln N-N$

假設 ${\frac {N_{S}}{N_{A}}}\gg 1$ 。因此

$I\approx N_{A}(\ln {\frac {N_{S}}{N_{A}}}+1)$

此外，如果 $\ln {\frac {N_{S}}{N_{A}}}\gg 1$ ，我們得到

$I\approx N_{A}\ln {\frac {N_{S}}{N_{A}}}$

現在，這個資訊量可以用來提供一個工作 $W=N_{A}k_{B}T\ln {\frac {N_{S}}{N_{A}}}$ 。因此我們得到了以下定理的一個例子

當機器在溫度 $T$ 下使用時，一定數量 $I$ 的資訊可以產生工作 $W=k_{B}TI$ 。

計算機的最小能量消耗

一臺獲取了 $I$ 資訊量的計算機必須擦除這些資訊才能恢復到初始狀態。現在，這些資訊可以用來產生工作 $W=k_{B}TI$ 。由於第二類永動機不可能存在，因此擦除 $I$ 資訊量的計算機必須消耗至少等於 $W=k_{B}TI$ 的能量。

參考文獻

Bennett, Charles H., The thermodynamics of computation - a review (Int. J. Theor. Phys. 21, 905-40, 1982, reproduced in Leff & Rex 1990)

Diu, Bernard, Guthmann, Claudine, Lederer, Danielle, Roulet, Bernard, Physique statistique (1989)

Feynman, Richard P., Lectures on computation (1996)

Landauer, Rolf W., Irreversibility and heat generation in the computing process (IBM J. Res. Dev. 5, 183-91, 1961, reproduced in Leff & Rex 1990)

Leff, Harvey S., Rex, Andrew F., Maxwell's demon, entropy, information, computing (1990)

Maxwell, James Clerk, Theory of heat (1871)

Sethna, James P., Statistical mechanics : entropy, order parameters and complexity (2018)

Szilard, Leo, On the decrease of entropy in a thermodynamic system by the intervention of intelligent beings (Zeitschrift für Physik, 1929, 53, 840-856, translated in Leff & Rex 1990)