認識論概要/對稱性
當我們談論兩個個體之間的相似性時，我們的意思是，歸屬於一個個體的一些性質也可以歸屬於另一個個體。當我們談論兩個系統之間的相似性時，“對一個系統成立的同樣也對另一個系統成立”這句話可以得到更微妙的含義。我們的意思是存在一個投影 f，它使得可以用第二個系統中的個體 f(x) 來替換第一個系統中的個體 x，以使關於第一個系統的真陳述被替換為關於第二個系統的真陳述。這樣的投影在數學上被稱為態射，如果它是雙射的，就稱為同構，表示這兩個系統具有相同的形式或相同的結構。
目前對結構概念的使用存在歧義。結構有時指的是客體，指的是系統，有時指的是它的性質。結構也具有結構。從邏輯的角度來看，作為客體的結構是邏輯上可能的世界或該世界的一部分。結構作為一種性質可以從等價關係 x 與 y 具有相同的結構來定義。這個等價關係可以用同構的概念來定義
兩個結構（或兩個系統）具有相同的結構，當且僅當它們是同構的。
兩個結構 E 和 F 之間的同構是雙射函式 f，它用 F 中的個體替換 E 中的個體，以使所有基本性質和關係都被保留。形式上
如果 P 是一個基本性質，對於 E 中的所有 x，x 具有性質 P 當且僅當 f(x) 具有性質 P。
如果 R 是一個基本二元關係，對於 E 中的所有 x 和所有 y，xRy 當且僅當 f(x)Rf(y)
對於更多項之間的基本關係也是如此。
（E 中的元素與 F 中的元素之間的關係定義了一個從 E 到 F 的對映，當 E 中的每個元素都與 F 中的單個元素連線時。從 E 到 F 的對映是雙射的，當 F 中的每個元素都與 E 中的單個元素連線時。換句話說，雙射函式是其逆也為對映的對映。）
兩個結構之間的同構使得可以透過將所有地方的 x 替換為 f(x)，將關於一個結構的所有真陳述轉換為關於另一個結構的真陳述。當兩個結構同構時，它們是同一理論的模型。任何一個結構的公理系統必然是另一個結構的真命題。
一個複雜的自然存在是自然結構，由自然性質和關係定義。兩個同構的複雜自然存在本質上是相似的，自然上是不可分辨的。它們具有相同的自然性質。在一個自然存在中自然可能的一切，在另一個自然存在中也自然可能。一個複雜自然存在的本質是它的結構。兩個同構的複雜自然存在具有相同的本質。
同構的概念通常以更一般的形式定義。雙射函式 f 被允許替換不僅是單個個體，還包括性質和關係，始終以這樣一種方式，即關於一個系統的真陳述被替換為關於另一個系統的真陳述。當系統之間的相似性以這種方式定義時，通常說相似的系統是類似的，而投影 f 是一個類比。同構可以定義為一個雙射類比。
我們也可以以更一般的形式定義結構的概念
兩個結構具有相同的結構，當且僅當它們是同一理論的模型。
根據這個第二個定義，結構作為一種性質是由一個理論的公理決定的。更準確地說，不同的公理系統定義相同的結構，當它們具有相同的模型時，當一個系統的任何模型都是另一個系統的模型時。
一個理論是範疇的，當它所有的模型都是同構的。數學的基本結構，特別是自然數集和實數集，是由範疇理論決定的。範疇理論禁止任何偶然性。本質上只有一個邏輯上可能的世界服從它的原則。自然規律沒有決定自然的範疇理論。它們留下了偶然性的空間。
當一個理論不是範疇的時，不同的、非同構的結構或系統可能具有相同的結構，如該理論所定義的。例如，我們可以說所有向量空間都具有向量空間結構。
結構 E 的自同構是內部同構，即從 E 到 E 的同構。
每個結構都具有一個平凡自同構，即由 id(x)=x 定義的恆等函式。
一個結構是對稱的，當它至少有一個非平凡自同構時。
非平凡自同構是結構的對稱性。
一個結構的自同構形成一個群，在代數意義上，因為自同構的逆是自同構，並且因為兩個自同構的複合也是自同構。
一個結構的所有自同構的群也被稱為它的對稱群。例如，圓形或圓盤的對稱群是繞其中心旋轉的群以及關於直徑反射的群。
當存在一個自同構 g 使得 y=g(x) 時，x 和 y 在結構中本質上是不可分辨的，因為關於一個的任何真命題都可以轉換為關於另一個的等價真命題。
一個對稱結構中的一個元素 x 的等價類或軌道是所有使得 y=g(x) 的 y 的集合，其中 g 是結構的自同構。
一個等價類是在結構中本質上不可分辨的元素的集合。例如，圓形的所有點都在同一個等價類中，因為圓形上沒有任何東西可以區分它們。圓盤中與中心距離相同的點也都在同一個等價類中，但不同的同心圓是不同的等價類，因為這些點透過它們與中心的距離來區分。
一個結構是對稱的，當它包含不同的但本質上不可分辨的元素時，因為它們在結構中的性質和關係決定了不同的但等價的位置。
一個自然結構是完全對稱的，當它包含自然上不可分辨的元素時，以使它們在結構中的關係賦予它們等價的位置。
一個自然結構是不完全對稱的，當它包含自然上非常相似的元素時，以使它們在結構中的關係賦予它們等價或幾乎等價的位置。
當一個結構包含許多成分時，它越對稱，越容易知道它，因為一旦知道一個對稱部分，我們就知道了所有對稱部分。
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為了發展實證科學，我們必須假設所有實驗者在以下意義上是等效的：任何一個實驗者做出的觀察都可以被另一個實驗者重複。實驗必須是可重複的。如果一個實驗不可重複，那麼它就不是得到良好控制的。為了使實驗可重複，尤其需要保證實驗結果不依賴於地點或時間。實驗條件可以隨時隨地重複，並且必須始終導致相同的結果。透過假設觀察者等效性原理，我們同時假設物理定律在任何時間和任何地方都是真實的。這導致了時空對稱群的定義。時空的所有點必然是相似的，它們都屬於同一個等價類。當我們知道其中一個時，我們就知道所有。對於空間中的所有方向以及更一般的對於所有參考系來說都是一樣的。時空沒有中心，空間中沒有優先方向（各向同性，沒有上下之分）以及沒有絕對靜止狀態（伽利略-愛因斯坦相對性原理）。就像圓桌騎士一樣，但在一個更大的空間中，時空觀察者永遠不會擁有特權地位。時空對稱群（龐加萊群）是對所有觀察者等效性原理的數學翻譯，就像圓桌對稱群是對所有騎士等效性原理的數學翻譯一樣。
所有觀察者等效性原理不僅是理論物理學的基礎，也是所有科學的基礎，因為理性要求知識是普遍的，任何一個人知道的都可以被其他人知道。