認識論概述/相對論原理的真理
物理定律必須與用來表述它們的座標系無關。（愛因斯坦 1916）
這意味著什麼？
座標系允許我們對物理物件進行命名。例如，一個空間點可以被三個數字命名，即它的三個座標，只要給定一個識別系統。當我們改變座標系時，我們改變了物理物件的名稱，但我們沒有改變物件本身或它們之間的關係。真理不應該取決於物件如何命名。無論我們如何命名物件，都可以說同樣的真理，只是表達方式不同。愛因斯坦提出的廣義相對論原理是一個主要的理論進步，因為它是他引力理論的基礎，因此類似於一個平凡的事實：真理在改變其表述時仍然存在。
廣義相對論原理的更現代的表述並沒有改變這種表面上的平凡。
每個物理定律必須能夠表達為幾何、與框架無關的物件之間的幾何、與框架無關的關係。（索恩和布蘭德福德，現代經典物理學，第 1154 頁，以下簡稱MCP）
更簡單地說，物理定律必須說明關於物件之間關係的真理。
但如果廣義相對論原理只是一個平凡的事實，為什麼它是所有經典物理學中最重要的原理？為什麼它允許我們用一種統一的方式理解牛頓物理學、狹義相對論和廣義相對論？為什麼它引導愛因斯坦發現了引力的基本定律？
我們應用廣義相對論原理的方式賦予它物理意義，也就是說，它引導我們制定可以與觀測結果進行比較的定律。更準確地說，我們假設所有物理物件都用標量、向量和張量確定，並且物理定律始終是標量之間的等式，或向量之間的等式，或張量之間的等式。在用標量、向量和張量定義物理物件方面，三個時空至關重要：牛頓的經典時空、用於狹義相對論的閔可夫斯基時空以及廣義相對論的彎曲時空。時空的幾何特性對可以在其中定義的標量、向量和張量以及可以應用於它們的物理定律施加約束。廣義相對論原理本身沒有物理意義，但一旦與時空幾何原理結合，它就獲得了物理意義。
在應用廣義相對論原理時，通常會遵守區域性性原理。
物理定律必須是在時空同一點定義的標量、向量或張量之間的等式。.
牛頓萬有引力定律不遵守區域性性原理，因為它假設瞬時超距作用，但這只是該理論的弱點，也是牛頓物理學中的一個例外。總的來說，牛頓及其繼任者的物理學都遵守區域性性原理。固體和不可壓縮流體的動力學也是一個例外，但這並不是一個根本性的反對意見，因為固體和不可壓縮流體只是對現實的近似模型。所有固體和流體始終都是可壓縮的，至少在一定程度上是可壓縮的。
廣義相對論原理被命名為“廣義相對論”，這很有趣，因為它斷言物理定律與特定的座標系或觀察者無關。因此，它是一個肯定物理真理絕對性的原理。它允許建立的狹義相對論和廣義相對論也是關於絕對真理的理論。因此，相對性原理如果被稱為絕對性原理，可能會被更好地命名，但愛因斯坦決定不這樣做，他的用法變得很普遍。
根據定義，n 階張量是n 個向量的實值線性函式（MCP，第 11 頁）。它將一個標量，即一個與框架無關的實數，與n 個向量相關聯。
在歐幾里得向量空間 中，兩個向量的標量積是一個至關重要的 2 階張量。特別是，它允許將一個向量 識別為由 定義的 1 階張量。類似地，從 到 的線性函式 可以被識別為由 定義的 2 階張量。
標量和向量是與參考系無關的幾何物件。由於張量是將標量分配給向量的函式，因此它們也是與參考系無關的幾何物件。
愛因斯坦的相對論與牛頓物理學在一點上有所不同，即同時性的相對性。根據愛因斯坦，對於一個觀察者來說是同時發生的兩個事件，對於另一個觀察者來說卻不一定是同時發生的，如果他相對於第一個觀察者運動，而牛頓則隱含地假設事件的同時性是絕對的，對於所有觀察者都是相同的。
但認為相對論迫使我們放棄絕對真理是錯誤的。愛因斯坦的理論，像所有科學理論一樣，都聲稱真理是絕對的，對所有人都是一樣的。任何可以被理性人識別為科學知識的真理，都可以被所有其他人識別。真理對所有人都是一樣的，否則就不是科學。一個只有少數人知道的科學是荒謬的。我們都在科學真理面前平等。
當真理是相對的，對觀察者，對觀點，對假設或原理來說，它總是絕對地是真實的。如果一個語句 e 從 A 的角度來看是真實的，但從 B 的角度來看不是，那麼它從 A 的角度來看是真實的，對 A 和 B 來說都是真實的。e 是一個相對的真理，但 e 從 A 的角度來看是真實的這一說法是一個絕對的真理。
人們經常認為，當人們觀察到科學包含許多有時相互矛盾的理論，並且沒有一個理論能聲稱自己是絕對真理時，就否定了科學真理的絕對性。但這是一種錯誤。當我們成為科學家時，我們每天都知道絕對真理，因為即使我們的真理是相對的，只要斷言它們是相對的，就足以說出絕對真理。沒有一個科學理論能聲稱自己是絕對的、完整的、終極的和最終的真理，這並不能證明沒有絕對真理，只是證明我們還沒有完全瞭解它。
牛頓教會我們透過研究單個方程的解來進行物理學研究
是作用在粒子上的力， 是它的質量， 是它的加速度。這個方程是牛頓動力學的基本定律。
粒子要麼是質點，要麼是固體或流體的粒子。質點是經典物理學的基本粒子。固體或流體粒子是固體或流體中一點附近的微小區域。
除了質點、固體和流體之外，經典物理學還包括物質施加和承受的力場。
對於牛頓物理學來說，向量始終是三維歐幾里得空間的向量。向量可以被識別為連線空間中兩點的箭頭。如果兩個箭頭從不同的點開始，並且平行，長度相同，方向相同，那麼它們代表同一個向量。
有了參考系，向量被用來表示粒子的位置、速度和加速度。參考系是一種可以進行幾何測量的基準。如果在基準上選擇一個點作為原點，則任何其他點的 位置由將它與原點隔開的向量定義。速度向量是位置向量的導數。加速度向量是速度向量的導數。
粒子的位置和速度總是相對於允許測量它們的參考系而言。另一方面，慣性系的 存在賦予加速度絕對的性質。慣性系是一個不受任何力作用且不會自轉的基準。地球不是一個完全的慣性系，因為它會自轉，因為它受太陽的吸引，但作為第一近似，它通常可以被視為一個慣性系。如果我們處於一個非慣性系，比如旋轉木馬，或剎車的火車，或加速的火車，或改變方向的火車，我們會感覺到旋轉或加速度的影響，而一個慣性系或近似慣性系讓我們安靜地休息。
伽利略注意到，在平靜的海面上的船上，人們可以進行與在港口相同的實驗。只要船的運動不劇烈，船上的任何實驗都無法判斷它是靜止的，還是相對於地球運動的。這是通用的。如果一個參考系相對於一個慣性系具有恆定的速度，那麼它也是慣性的。所有慣性系相對於彼此具有恆定的速度，並且在物理上是等價的，因為任何在一個參考系中可以進行的實驗，都可以 在另一個參考系中複製。這就是伽利略的相對性原理。
實驗結果不依賴於進行實驗的慣性系。
愛因斯坦稱之為相對性原理，因為它表明速度和靜止總是相對的，沒有絕對空間。由於沒有一個慣性系是優選的，因此物理定律禁止識別絕對靜止狀態。物體的運動和靜止總是相對於另一個物體而言的。談論相對於空的空間的靜止或運動沒有任何物理意義。但這個相對性原理也可以被視為一個絕對性的原理，因為它斷言物理定律對所有觀察者都是一樣的，無論他們在哪個慣性系中進行測量。
由於所有慣性系相對於彼此具有恆定的速度，因此粒子的加速度不依賴於測量它的慣性系。牛頓動力學的基本定律與伽利略的相對性原理一致，因為它只提到了力，力是一個絕對的，與參考系無關的量，以及加速度，加速度也是一個絕對的量，與參考系無關，前提是參考系是慣性的。
形變也是絕對量，對所有觀察者都是一樣的。它們由測量形變位置和初始位置之間的差異的向量表示。在材料靜止的參考系中測量它們是很自然的，但其他參考系也是合適的。
牛頓物理學一般非常適合研究普通物質、固體和流體的運動。測量一些引數，如密度、彈性、粘度…通常足以計算和預測物質的運動。關於彈性和粘度力的存在的一些簡單定律足以應用牛頓的基本定律，。廣義相對論原理和區域性性原理是尋找運動定律的非常強大的工具，因為用於陳述這些定律的標量、向量和張量很少。事實上，所有牛頓經典物理學都可以被發現是廣義相對論原理應用於牛頓時空的結果 (MCP，p.10)。
另一方面，牛頓物理學不適合研究基本相互作用。萬有引力定律不遵守區域性性原理，而電磁學定律，即麥克斯韋和洛倫茲方程，在牛頓框架中制定，不遵守伽利略的相對性原理。愛因斯坦的狹義相對論解決了第二個問題，而他的廣義相對論解決了第一個問題。
麥克斯韋方程組預測光在真空中的速度是常數 ，並且在所有方向上都相同。這個預測似乎與伽利略相對性原理不相容。如果光相對於一個慣性系以速度 前進，那麼它應該相對於另一個以相同速度 相對於第一個慣性系前進的慣性系靜止。如果我們能夠像光一樣快，那麼光可能相對於我們靜止，我們甚至無法在鏡子中看到自己。
真空光速不變最初被解釋為證明絕對靜止的存在。一個慣性系如果總是將光在真空中的速度歸於 ，那麼它就是絕對靜止的。在任何相對於它運動的慣性系中，光的速度都會不同。人們還認為光是一種透明且未知的物質（稱為以太）的振動。然後，絕對靜止被認為是相對於這種假設的以太的靜止。也有必要放棄伽利略相對性原理的普遍性，因為它與麥克斯韋方程組相矛盾。
正是這一點挑戰了愛因斯坦，因為電磁學定律往往與伽利略相對性原理非常吻合。這就是愛因斯坦在保留伽利略相對性原理的同時，對麥克斯韋方程組作出了驚人解釋的原因。這是一個驚人的選擇，因為它導致了以下原理
無論測量光的速度的慣性系如何，光速在所有方向上都是相同的。
特別是，光相對於地球以 300000 千米/秒的速度前進，但如果我以 299000 千米/秒的速度追趕它，那麼光仍然以 300000 千米/秒的速度相對於我前進。這乍一看是一個荒謬的結論。愛因斯坦表明，同時性相對於觀察者運動的相對性足以消除這種荒謬的表象。
一旦我們指定了如何觀察兩個事件的同時性，同時性是相對的還是絕對的，就是一個經驗問題。為此，只需在一個慣性系上測量距離，並在那裡放置一個球面波發射器，例如聲波，它在附著在該系的物質介質中傳播。根據同時性的定義，位於發射器相同距離上的兩個點同時接收到聲脈衝。愛因斯坦使用光本身，而不是聲波，來定義事件的同時性，但這削弱了他的論證，因為他必須假設光在所有方向上的速度都相同。這個假設對於定義同時性來說是不必要的。
經驗結果是明確的。迄今為止的所有實驗都證實了愛因斯坦理論的預測。因此，事件的同時性是相對於觀察者的運動而言的，光速在所有方向上都是相同的，無論測量光速的慣性系如何。
一把剛性尺或羅盤可以透過將其與其他距離進行比較來測量其兩端之間的距離。因此，一把剛性尺是測量長度或空間間隔的裝置。重要的是尺是剛性的，這樣測量到的距離總是相同的。時空測量裝置可以根據相同的模型設計。一個簡單的時鐘就是這樣的裝置。它可以指向兩個事件，這兩個事件總是相隔相同的持續時間。也可以使用固定在同一個剛性支架上的兩個時鐘，每個時鐘用於指向某個事件。如果觸發兩個時鐘的裝置是規則的，那麼指向的兩個事件之間的時空間隔總是可以相同的。這樣的裝置可以像剛性尺測量空間一樣測量時空。
如果間隔位於一個有質量的物質點的路徑上，則該間隔是類時的。如果它位於真空中的光線路徑上，則它是類光的。所有其他間隔都是類空間的。當間隔是類空間時，總存在一個慣性系，使得它的端點是同時發生的事件。時空測量裝置測量三種間隔。一個時鐘足以測量類時間隔。固定在剛性尺上並適當同步的兩個時鐘可以測量類空間或類光間隔。
該理論可以將一個實數分配給所有時空間隔，類時、類光和類空間，或者更準確地說，將一個實數分配給它們的平方。特別是，所有類時間隔都等於零，因此它們彼此相等。這在先驗上是令人驚訝的。例如，這意味著光子發射和在三米外接收之間的時空間隔等於光子發射和在三光年外接收之間的間隔，就好像前進的光子從未離開其起始點一樣。難道這不是仙境嗎？
時空測量裝置和同時性的相對性可以幫助我們理解這個反直覺的結果。想象一個火箭向一顆距離地球三光年的恆星發射。從火箭的角度來看，一個光子從火箭的後部發射並在三米外的前部接收，因此在很短的時間內就會接收到。但是，由於同時性的相對性，從火箭的角度來看，很短的時間，從地球的角度來看，可能需要三年時間，只要火箭足夠快。同一個時空裝置既測量了三光年的類光間隔，也測量了三米的類光間隔。因此，它建立了它們之間的相等性。
在歐幾里得空間中，距離可以由標量積定義，因為向量的長度是其標量平方根。
這就是為什麼說標量積定義了歐幾里得空間的度量。
反過來，標量積可以由距離定義，公式為
當我們引入笛卡爾座標時，標量平方就是勾股定理的公式
在閔可夫斯基時空，我們也可以從間隔測量中定義一個“標量”積，但有時我們稱之為偽標量，因為它不具有通常標量積的所有性質。
與歐幾里得空間一樣，時空向量可以被識別為間隔，但它們是事件之間的間隔，而不是空間中點之間的間隔。因此，向量有四個分量，一個時間分量和三個空間分量。
類時間隔可以用秒來衡量，類空間隔可以用米來衡量。“標量”積透過將它們分別賦予正標量平方和負標量平方來區分它們。類光間隔的標量平方為零。
如果我們選擇類時間隔具有負標量平方，則間隔的標量平方為
如果我們選擇光秒作為距離單位，約為300000公里，，標量平方可以更簡單地寫成
從標量平方，因此從時空間隔的測量中，我們可以像歐幾里得空間一樣定義時空“標量”積。
張量的定義與歐幾里得空間相同，只是基本張量是閔可夫斯基的“標量”積。
為什麼牛頓物理學仍然是正確的？
[edit | edit source]牛頓物理學隱含地假設事件的同時性是絕對的，並將廣義相對論原理應用於歐幾里得空間的三維向量及其張量。現在，相對論表明事件的同時性是相對的，廣義相對論原理必須應用於時空的四維向量及其張量。
牛頓物理學是錯誤的，但只是稍微錯誤，而且它的錯誤通常是微不足道的，考慮到測量的不精確性，它是不可檢測的。三維向量就像四維向量的影子。只要速度遠小於光速，這些影子就會略微變形，如果我們在影子而不是在四維向量上進行推理，就會犯一個小錯誤。只有當速度接近光速時，牛頓物理學的錯誤才會變得可檢測。
時空曲率和引力
[edit | edit source]自由落體和行星的軌道
[edit | edit source]牛頓理論用相同的萬有引力解釋了地球表面的自由落體和月球的軌道。
一切似乎都表明，月球並沒有停止向地球墜落，而是一直在旁邊墜落，最終它只是圍繞著它墜落的物體旋轉。總的來說，衛星和彈丸都遵循同樣的定律。行星的軌道和所有衛星的軌跡可以被認為是自由落體軌跡，只是它是一個永無止境的墜落。
因此，牛頓理論證明了，與亞里士多德相反，相同的定律解釋了地球和天體的運動。
愛因斯坦的偉大思想
[edit | edit source]愛因斯坦透過理解自由落體等同於零重力而得出廣義相對論。如果我們在自由落體的電梯裡，就像在零重力電梯裡，直到它撞到地面。這使得在地球表面產生零重力成為可能。只要使用模擬自由落體軌跡的飛機。只要它保持在這樣的軌跡上，所有乘客都會體驗到失重。
史蒂芬·霍金在一次零重力實驗中乘坐波音727飛機
在牛頓物理學中，自由落體是指物體受到重力的作用。在愛因斯坦物理學中，自由落體是指物體不受任何力的作用，因為自由落體的物體表現得就像失重一樣。根據愛因斯坦的理論，重力並不存在，引力不是一種力。
在牛頓物理學中，靜止在地球表面的物體加速度為零，因此不受任何力的作用，或者更準確地說，它受到兩個大小相等方向相反的力的作用，即地球的萬有引力與地面的反作用力。在愛因斯坦物理學中，靜止在地球表面的物體始終受到地面的反作用力。這種力沒有被重力抵消，因為重力並不存在。如果沒有力作用在物體上，它將保持在自由落體的路徑上，因此不會靜止在地球表面。
在牛頓和閔可夫斯基的空間時間中，不受任何力作用的物體始終沿直線以相對於彼此恆定的速度運動。這些直線軌跡是這些時空的測地線，即最短路徑的線。在彎曲的時空裡，所有自由落體和所有軌道上的衛星都不受任何力的作用，它們的軌跡都是測地線。
在平坦的空間中，比如一張紙，最短路徑始終是直線，但彎曲的空間可以容納其他測地線。例如，在球體上，測地線是大圓。牛頓和閔可夫斯基的時空是平坦的，因為測地線始終是直線，但廣義相對論的時空是彎曲的，因為測地線可以採用更多形式。
在牛頓理論中，有質量的物體彼此施加萬有引力。在愛因斯坦的理論中，這些力並不存在，而是物體影響了它們所在的時空的曲率。例如，太陽透過它的存在使時空彎曲，從而在其附近出現回到自身的測地線。行星的軌跡正是這樣的測地線。
慣性質量和引力質量的等效性
[edit | edit source]慣性質量 是牛頓動力學基本定律中出現的慣性系數的定義
它是一個慣性系數，因為它衡量了物體抵抗力作用的能力。慣性質量越大，力的作用效果 就越小。力的作用效果 就越小。
慣性質量衡量了物體如何體驗其他物體施加的力。引力質量 衡量了物體如何作用於其他物體。它是萬有引力定律中出現的係數
兩個質量分別為 和 的物體，它們之間的距離為 ，它們彼此施加的引力大小等於
是萬有引力常數。
觀察發現，所有受到引力作用的物體都經歷相同的加速度，無論它們的質量和組成材料如何。這種觀察可以透過假設慣性質量始終等於引力質量 來解釋，因為慣性質量為 ，引力質量為 的物體，在引力質量為 的物體的引力作用下，其加速度等於
如果
牛頓理論並沒有規定 。原則上這兩個係數可能不同，受重力作用的物體的加速度可能取決於其組成的物質。但更精確的測量從未讓我們觀察到這種變化。
愛因斯坦的理論要求受重力作用的物體的軌跡不取決於其物質，因為所有物體，無論其物質如何，都必須遵循相同的測地線。因此，它規定慣性質量和引力質量相等，這正是我們觀察到的。
歐幾里得空間的度量由歐幾里得度量張量描述，即標量積，它可以由向量的長度定義，從而由空間中長度的測量定義。
閔可夫斯基時空度量由閔可夫斯基度量張量描述，即閔可夫斯基“標量”積，它可以由時空間隔的測量定義。
彎曲時空的度量由黎曼度量張量描述。這是彎曲時空的閔可夫斯基度量張量在平坦時空中的模擬。
微分幾何是定義彎曲時空及其度量張量的數學工具。因此，它使我們能夠定義這些時空中可能存在的所有向量和張量。為了允許所有可能的時空形式，它允許所有座標系。因此，即使在座標系任意變化後，同一個物體也可以被表示。更準確地說，我們只對尊重時空微分結構的座標變化感興趣，也就是微分同胚。
座標系的任意變化對於完全自由地定義彎曲時空是必要的。對於平坦時空，牛頓或閔可夫斯基，這種座標變化並不禁止，但它們不是必需的。我們總是可以限制自己使用笛卡爾座標，用正交參考系定義。這就是為什麼閔可夫斯基時空可以用狹義相對論原理來定義。
物理定律不應取決於它們被表述的正交座標系。
廣義相對論的彎曲時空必須用廣義相對論原理來定義。
物理定律不應取決於它們被表述的座標系。
但廣義相對論原理也可以應用於閔可夫斯基時空或牛頓時空，我們毫不猶豫地這樣做，因為我們並不總是使用笛卡爾座標系來研究它們。
物理學的成功表明，關於我們定義的物件和關係可以陳述真理。因此，只要物理理論讓我們發現真理，廣義相對論原理，我們應該稱之為絕對性原理，就被證實了。
牛頓物理學將廣義相對論原理應用於歐幾里得空間。歐幾里得空間的向量和張量足以表示所有普通物質的運動，前提是它們的速率與光速相比很小。因此，只要允許它表述的理論與觀測結果一致，應用於歐幾里得空間的廣義相對論原理就被證實了，也就是說，總是，或者幾乎總是。
狹義相對論將廣義相對論原理應用於閔可夫斯基時空。閔可夫斯基時空的向量和張量足以表示所有物質的運動，只要我們可以忽略重力和量子效應。因此，應用於閔可夫斯基時空的廣義相對論原理被所有經典物理實驗所證實，除了那些涉及重力的實驗。
廣義相對論將廣義相對論原理應用於彎曲時空。我們可以定義的向量和張量足以表示所有物質的運動，只要我們可以忽略量子效應。應用於彎曲時空的廣義相對論原理始終被所有可能反駁它的實驗所證實，它也導致了一些非凡的預測：大爆炸、黑洞、引力波……