認識論概要/為什麼熵是真實的？

熱力學熵的真實性

要了解物質的所有狀態，熵是最基本和最重要的概念之一。有了它，我們幾乎可以解釋一切，沒有它，幾乎什麼也解釋不了。只要滿足非常普遍的條件，熵就可以被分配到物質的各個片段，例如處於熱平衡或接近熱平衡，並且通常可以測量。從經驗科學和熱力學理論的角度來看，熵是一個真實的量，它描述了物質的真實屬性。在熱力學課程中，它被稱為狀態函式，意思是它是由系統的實際狀態決定的。熵確實存在，不僅僅是理論家們的想象。

從統計物理學的角度來看，熵的真實性仍然是一個問題。

統計熵

統計物理學要求我們區分物理系統的兩種狀態概念，微觀狀態，或微態，和宏觀狀態，或宏態。

宏態是由熱力學定義的狀態。它取決於宏觀引數：體積，內能，摩爾數，壓強，溫度，表面張力，化學勢，磁化強度，施加的外場或任何其他可測量的宏觀引數，這些引數有助於確定所研究系統的平衡狀態。

微態是系統的瞬時狀態。它取決於所有微觀成分的狀態。在經典物理學中，它由所有組成粒子的位置和速度決定。在量子物理學中，微態是系統的量子態，由薛定諤方程決定。

宏態不進化，或者緩慢而通常確定性地進化，微態通常一直在變化，非常快，並且以隨機的方式變化。

似乎系統的真實狀態始終是它的微態。宏態只是一個粗略的描述，它忽略了所有的微觀細節。

除了少數罕見的情況外，人們永遠不會確切知道宏觀系統的微態，因為人們必須知道所有微觀成分的量子態，而這些成分數量太多，無法列舉，以及它們相互糾纏的方式。

由於微態通常是未知的，統計物理學對可能微態的機率分佈進行推理。熵始終是從這個機率分佈中定義的。它用吉布斯公式計算

$S=-k_{B}\sum _{n}p_{n}\ln p_{n}$

其中 $p_{n}$ 是所有可能微態 $n$ 的機率。 $k_{B}$ 是玻爾茲曼常數。

對於一個準孤立系統，可以證明在平衡狀態下所有可能的微態都是等機率的（見補充）。以某種神秘的方式，這種機率分佈被稱為微正則系綜。如果 $\Omega$ 是可能微態的數量。然後 $p_{n}$ 等於 ${\frac {1}{\Omega }}$ ，因為它們都相等。吉布斯公式然後導致玻爾茲曼公式

$S=k_{B}\ln \Omega$

玻爾茲曼是第一個（1872-1875）定義統計熵的人。吉布斯後來對任何機率分佈推廣了玻爾茲曼公式（1902）。

在量子力學中，我們計算一個基底的微觀態數量。這個數量就是所有可能的微觀態空間的維數。當熵定義為一個機率分佈時，我們可以為基底微觀態分配機率，但最好用密度算符來推理。

熵衡量的是系統微觀態資訊的不確定性，因此是觀察者無知程度的體現。但似乎它不是一個真實的量，因為它取決於觀察者被告知的程度。我們是否應該得出這樣的結論，即熱力學錯誤地假設熵是一個狀態函式？

統計熵的真實性

統計系綜、遍歷性和時間平均

統計物理透過對物理系統統計系綜的推理，以數學上嚴謹的方式發展起來（吉布斯 1902）。微觀態的機率被解釋為統計系綜中隨機選取的系統處於該微觀態的機率。

原則上，遍歷性理論允許將用統計系綜定義的量與用單個物理系統定義的量聯絡起來。系綜平均被識別為系統時間平均。但我們通常考慮的是非常長時間的平均值，因為一個宏觀系統需要花費與宇宙年齡相當的時間才能探索其可訪問微觀態空間的很大一部分。然而，熱力學測量通常非常快。只要系統距離熱平衡不太遠，幾分之一秒就足夠了。我們甚至可以連續地測量它們。我們永遠不會等待數十億年。

如果用合適的統計集正確計算平衡量，結果就會得到觀測結果的證實。但它的持續時間可能非常短，僅僅是系統達到平衡的時間。即使我們等待數小時，或者很少情況下數週，以使熱力學平衡達到，但這不足以探索整個可訪問微觀態空間。那麼，為什麼用該空間上的機率分佈計算的結果與觀測結果相同呢？

民意調查原則和蒙特卡羅方法

民意調查原則可以解釋實際上測量的熱力學量與沒有物理真實性的統計系綜計算的量之間的相等。只要樣本數量足夠多且真正具有代表性，在代表性樣本上計算的平均值就可以很好地近似於在整個集合上計算的平均值。在熱力學測量中，系統只探索其可訪問微觀態空間的一小部分，但它可能足夠大且具有代表性，以使測量的量與用統計集計算的量相同。

熱力學測量類似於蒙特卡羅方法。為了評估平均值，我們從隨機選擇的樣本中計算。理論家使用計算機的偽隨機生成器來選擇樣本。實驗者信任自然。它就像一個隨機生成器，在每次觀測時選擇一個代表性樣本，以證實我們的理論預測。蒙特卡羅方法比它所用來研究的統計系綜更接近物理現實。當進行熱力學測量時，自然本身在提供結果之前應用了蒙特卡羅方法。

簡短的時間平均值是否代表所有可訪問微觀態空間，這在先驗上並不明顯，甚至相當排斥，因為我們只觀察到系統軌跡的一小部分，它可能與其他部分截然不同。為什麼自然是一個可靠的隨機生成器，它能給我們提供真正代表性的長期平均樣本？

量子退相干

與所有其他物理定律一樣，熱力學定律必須從量子物理學中得到證明，因為量子理論是最基本的物理學。然後人們可能會想知道，統計系綜的機率是否可以解釋為量子機率。退相干理論暗示了這一點。如果我們觀察一個與我們沒有觀察到的環境相互作用的系統，我們必須用一個密度算符來描述它，該算符定義了系統狀態上的機率分佈。即使初始狀態是精確確定的，後續演化也是由機率分佈描述的。這種退相干效應可能非常快。但退相干獲得的機率分佈不是熱力學統計系綜的分佈。退相干本身不足以解決短時間平均值的問題，但它可以幫助解決這個問題，因為它是一種非常快、非常強大且非常普遍的效應，它在物理系統的演化中引入了大量隨機性。

微觀熵

統計物理學計算的機率分佈（麥克斯韋-玻爾茲曼、費米-狄拉克、玻色-愛因斯坦）決定了熱力學系統微觀成分狀態的機率。這些機率決定了氣體中分子的速度，或者量子態佔據數，使得可以定義微觀熵，即每個分子或每個粒子量子態的熵。整個系統的熵是其成分的微觀熵的總和，前提是它們是統計獨立的（見補充）。為了考慮到粒子的不可區分性，必須考慮量子態佔據數。

微觀熵的真實性與觀察的簡短性並不衝突，因為微觀成分的可訪問狀態空間很小。這足以證明微觀熵的真實性，進而證明宏觀熵的真實性。但為此，我們需要證明微觀成分的統計獨立性。

微觀成分的獨立性

處於熱力學平衡狀態的系統的微觀成分不可能完全獨立。為了使它們獨立，它們根本不應該相互作用。但如果它們不相互作用，它們就不能交換能量，熱力學平衡就會被排除在外。

為了建立熱力學平衡，假設成分以非常多樣化的方式相互弱相互作用就足夠了，即每個成分都與大量其他成分相互弱相互作用。例如，氣體中的一個分子與所有其他分子弱耦合，因為它們會發生碰撞，但它是一種弱耦合，因為特定碰撞的機率非常小。

一個微觀成分只能對其環境產生非常小的影響，因為它與環境相比非常小。如果這種影響進一步分散到許多其他部分，環境對其影響做出反應的可能性可以忽略不計。無論微觀成分處於何種狀態，環境在統計上幾乎始終保持幾乎相同。因此，成分的狀態在統計上幾乎獨立於其環境的狀態。由於這對所有微觀成分都是正確的，所以它們彼此之間幾乎都是獨立的。可以得出結論，宏觀熵是微觀熵的總和。

為了證明統計熵的真實性，遍歷性理論是不夠的，最重要的是要證明微觀成分的準統計獨立性。

缺乏資訊、自由放任和平衡

對熱力學系統實際狀態的資訊缺乏不是來自觀察者的懶惰或無能，而是來自觀察現象的性質。熱力學實驗讓觀察到的系統達到或接近平衡。我們只控制少量宏觀量，我們透過忽略微觀態來讓平衡穩定下來。如果我們試圖更精確地瞭解它們，我們可能會阻止系統接近平衡，我們可能無法精確地觀察我們想要觀察的東西，即平衡或接近平衡。讓系統在微觀態空間中隨機漫遊是熱力學平衡的必要條件。矛盾的是，對微觀態的無知，這是觀察者的一種主觀屬性，是發生熱力學平衡的必要條件，這是一個真實的、客觀的事件。這就是為什麼熵測量資訊缺乏，是一個客觀的物質屬性。正是資訊缺乏使我們能夠觀察到熱力學平衡。

資訊作為燃料

麥克斯韋妖

麥克斯韋妖表明，資訊可以轉化為功。

考慮一個裝有氣體的容器。在容器中間放置一個隔板。隔板上有一個小門，由一個探測入射分子速度的裝置控制。只有當來自左邊的分子速度快於平均速度，或者來自右邊的分子速度慢於平均速度時，門才會開啟。這樣，右邊的隔室就會被加熱，而左邊的隔室就會被冷卻（麥克斯韋 1871）。這種溫差可以用來驅動熱機。

這個開門裝置就是一個麥克斯韋妖。它獲取資訊，這些資訊可以轉化為功。因此，資訊是一種燃料。

麥克斯韋發明了他的“妖”來證明熵不減少定律只是一種統計規律，如果能夠改變微觀成分的統計平衡，就可以違背它。在麥克斯韋那個時代，原子和分子的存在還非常假設。因此，考慮操縱它們的可能性是不可能的。但是，一旦物質的微觀成分被更好地認識，一個像麥克斯韋妖一樣工作的機械裝置的可能性就變得可以認真對待。

迄今為止，我們觀察和操縱微觀成分的能力還不足以實現麥克斯韋設想的裝置，但掃描隧道顯微鏡使觀察和操縱原子成為可能。因此，我們可以想象一種裝置，它能夠在降低觀察系統熵的同時回收功，從而形成一種理論上可行的麥克斯韋妖。

考慮一個能夠在其表面容納原子的晶體。假設最初 $N_{A}$ 個原子隨機分佈在 $N_{S}$ 個位置上，並且溫度足夠低，使它們停留在那裡。因此，它是一種凍結的無序狀態。我們首先觀察表面原子的精確構型，這可以透過掃描隧道顯微鏡來實現，然後我們用相同的顯微鏡將它們移動並收集在表面的一部分 ${\frac {N_{A}}{N_{S}}}$ 上。顯微鏡的活動類似於對氣體的等溫壓縮功，只是它不是氣體，而是表面上的凍結無序。

最初，可能的構型數量等於在 $N_{S}$ 個位置上放置 $N_{A}$ 個原子的方法數 $(_{N_{S}}^{N_{A}})$ 。因此，表面上原子凍結的無序狀態對晶體的熱力學熵貢獻了 $S_{A}^{i}$ 。

${\frac {S_{A}^{i}}{k_{B}}}=\ln(_{N_{S}}^{N_{A}})=\ln {\frac {N_{S}!}{(N_{S}-N_{A})!N_{A}!}}=N_{S}\ln {\frac {N_{S}}{N_{S}-N_{A}}}+N_{A}\ln {\frac {N_{S}-N_{A}}{N_{A}}}$

我們使用了斯特林近似： $\ln N!\approx N\ln N-N$

在對所有原子進行排序後 $S_{A}^{f}=0$ 。

因此，熵不減少定律似乎被違反了，正如麥克斯韋預測的那樣，因為我們可以操縱原子。

原則上，原子的位移不需要任何功，因為撕裂原子的功可以在重新沉積時回收。但是，由於掃描隧道顯微鏡消耗能量並散發出熱量，它不會減少總的熱力學熵。將在下面討論這一異議。

資訊量和功

為了將晶體熱力學熵的減少轉化為功，我們將晶體的表面與一個體積為 $V$ 的空容器接觸，該容器的其它壁不能容納原子。這個容器用一個可移動的隔板分成左右兩部分，其體積分別為 $V_{G}={\frac {N_{A}}{N_{S}}}V$ 和 $V_{D}={\frac {N_{S}-N_{A}}{N_{S}}}$ 。將晶體加熱至使體積為 $V_{G}$ 中的原子汽化。然後允許生成的氣體在整個容器中進行等溫弛豫，從而提供功 $W=N_{A}k_{B}T\ln {\frac {N_{S}}{N_{A}}}$ 。然後冷卻晶體，使原子重新沉積在晶體表面。如果以一系列熱浴進行可逆過程，則每個熱浴在加熱過程中提供的熱量恰好等於它在冷卻過程中回收的熱量，因為氣體的恆容比熱不依賴於它的體積。晶體和用於加熱它的熱浴已經恢復到初始狀態。

假設一個吸收壁可以在任意大的體積中製造完美的真空。這樣的壁不可能存在，否則就可以製造出第二類永動機：將充滿原子的壁與一個空容器接觸，將其加熱到足夠高的溫度使所有原子汽化。然後允許氣體等溫弛豫以提供功。然後將氣體冷卻到足夠低的溫度，使所有原子重新沉積在吸收壁上。如果進行可逆過程，則每個熱浴在加熱過程中提供的熱量恰好等於它在冷卻過程中回收的熱量。因此，我們可以在從單個熱浴中提取熱量後，透過提供功返回到初始狀態。

為了進行與熱力學定律相符的精確計算，必須考慮到與吸收壁接觸的氣體的平衡密度。這個密度不可能為零，但它可以很小，原則上只要壁的吸收性足夠強，它就可以像我們想要的那樣小。這足以證明上面忽略了這個密度的計算。

假設 ${\frac {N_{S}}{N_{A}}}\gg 1$ 。因此

${\frac {S_{A}^{i}}{k_{B}}}\approx N_{A}(\ln {\frac {N_{S}}{N_{A}}}+1)$

如果此外 $\ln {\frac {N_{S}}{N_{A}}}\gg 1$ ，我們得到

$S_{A}^{i}\approx N_{A}k_{B}\ ln{\frac {N_{S}}{N_{A}}}$

現在 $S_{A}^{i}$ 等於觀察所有表面原子位置時獲得的資訊熵的減少。因此，獲得了以下定理的一個例子

如果資訊熵小於熱力學熵，那麼兩者之差乘以溫度 $T$ 度量了系統在只能從溫度為 $T$ 的熱浴中獲取熱量時所能提供的功的最大值。

這個定理最早是由 Szilard 在 1929 年提出的。但他的模型很不現實，因為它假設單個分子可以像普通氣體一樣推動活塞。

麥克斯韋妖為什麼不能降低總熵？

為了使麥克斯韋妖的存在與熱力學定律相一致，至少必須滿足以下條件之一

該裝置的操作不會降低被觀察系統的熵，因為它在降低熵之前會先增加熵。
該裝置的操作會增加環境的熵。
該裝置的操作會增加它自身的熵。

麥克斯韋認為他的妖必須看到分子。但是，為了看到它們，必須點燃氣體並因此加熱它。這種加熱會增加氣體的熵，人們可以預期這種增加將大於由溫度差建立引起的減少。在這種情況下，條件 1 會阻止總熵的降低。

隧道顯微鏡不需要光，實際上可以降低被觀測系統的熵。但它會消耗能量並向環境釋放熱量。人們傾向於認為，獲取微觀資訊會阻止麥克斯韋妖減少總熵，因為它有能量消耗。但獲取資訊並不一定有能量消耗。如果由探測器和被觀測系統組成的完整系統與其環境完全隔離，這並不會阻止探測器獲取資訊。例如，在理想的量子測量過程中，整個系統是隔離的。如果被觀測系統處於測量特徵態，如果有 n 個這樣的可能初始態，那麼探測器也有 n 個可能的最終態，並且被觀測系統不會受到干擾。最初，完整系統的初始態有 n 種可能性，因為探測器處於單個微觀態。最後，完整系統的最終態也有 n 種可能性，因為被觀測系統和探測器完全相關。因此，資訊獲取不會增加完整系統的熵。

物理學並不禁止存在能夠在沒有能量消耗的情況下檢測原子的系統。

我們是否應該得出結論，麥克斯韋妖可以減少總熵？

補充

第二類永動機

一臺可以在不提供能量的情況下提升重量或移動汽車的機器可以製造第一類永動機。能量守恆定律，即熱力學第一定律，禁止這種機器的存在。這是物理學最基本的定律之一。如果我們可以發明這種機器，所有物理學家都會錯了，但沒有人發明過它。

第二類永動機不違背能量守恆定律。任何物體都可以釋放能量，前提是它被冷卻，除非它處於零溫度，即 0 開爾文 = -273.15 攝氏度 = -459.67 華氏度。因此，我們可以想象一輛汽車、一艘船或一架飛機可以在不消耗燃料的情況下前進。它只需要吸收室溫下的空氣或水，並將它們排放到更低的溫度。能量的差異將被用來驅動發動機。

為了使這種發動機工作，必須能夠將一個溫度均勻的系統分離成兩部分，一部分更熱，另一部分更冷。但根據熱力學第二定律，這是不允許的，因為它會導致總熵減少。因此，第二類永動機不可能實現，這是由於總熵不減定律，即熱力學第二定律。

統計熵增加和微正則系綜

$n$ 是幾乎隔離系統的全部可達狀態，即環境的擾動不會改變系統的能量。 $T_{np}$ 是從狀態 $p$ 到狀態 $n$ 的每單位時間的躍遷機率。假設所有微觀演化都是可逆的。

$T_{np}=T_{pn}$

對於所有 $n$ 和所有 $p$ .

$P_{n}(t)$ 是在時間 $t$ 狀態 $n$ 的機率。根據 $T_{np}$ 的定義，我們有

${\frac {d}{dt}}P_{n}=\sum _{p\neq n}(P_{p}T_{np}-P_{n}T_{pn})=\sum _{p\neq n}T_{np}(P_{p}-P_{n})$

${\frac {d}{dt}}S=-k_{B}{\frac {d}{dt}}\sum _{n}P_{n}\ln P_{n}=-k_{B}\sum _{n}[(\ln P_{n}){\frac {d}{dt}}P_{n}+{\frac {d}{dt}}P_{n}]=-k_{B}\sum _{n}(\ln P_{n}){\frac {d}{dt}}P_{n}$

因為

$\sum _{n}{\frac {d}{dt}}P_{n}={\frac {d}{dt}}\sum _{n}P_{n}={\frac {d}{dt}}1=0$

那麼

${\frac {d}{dt}}S=k_{B}\sum _{n,p\neq n}(\ln P_{n})T_{np}(P_{n}-P_{p})=k_{B}[\sum _{n,p<n}(\ln P_{n})T_{np}(P_{n}-P_{p})+\sum _{n,p>n}(\ln P_{n})T_{np}(P_{n}-P_{p})]$

但是

$\sum _{n,p>n}(\ln P_{n})T_{np}(P_{n}-P_{p})=\sum _{p,n<p}(\ln P_{n})T_{np}(P_{n}-P_{p})=\sum _{n,p<n}(\ln P_{p})T_{np}(P_{p}-P_{n})$

所以

${\frac {d}{dt}}S=k_{B}\sum _{n,p<n}(\ln P_{n}-\ln P_{p})T_{np}(P_{n}-P_{p})$

$(\ln P_{n}-\ln P_{p})$ 和 $(P_{n}-P_{p})$ 符號相同，並且 $T_{np}$ 始終為正，因此

${\frac {d}{dt}}S\geq 0$

矛盾的是，微觀可逆性假設， $T_{np}=T_{pn}$ ，導致宏觀過程不可逆定律，因為準孤立系統的熵永遠不會減少。

微正則系綜是一個平衡分佈

${\frac {d}{dt}}P_{n}=\sum _{p\neq n}T_{np}(P_{p}-P_{n})=0$

因為對於所有的 $n$ 和所有的 $p$ ， $P_{n}=P_{p}$ 。

這是唯一的平衡分佈，因為如果 $P_{n}$ 不全相等，至少存在一個 $P_{m}$ 小於其他值。在所有滿足 $P_{m'}=P_{m}$ 的狀態 $m'$ 中，至少存在一個滿足 $T_{m'p}\neq 0$ 的狀態，其中 $p$ 滿足 $P_{m'}<P_{p}$ ，否則它們將不可訪問。那麼

${\frac {d}{dt}}P_{m'}=\sum _{p\neq m'}T_{m'p}(P_{p}-P_{m'})>0$

該分佈不處於平衡狀態。

熵增加的現實

對於一個沒有實際存在的統計系綜，熵不減定理以數學嚴謹的方式得到證明。 $P_{n}(t)$ 定義了時刻 $t$ 狀態 $n$ 的佔據機率，對於理論家想象的巨大集合中的所有系統。它描述了這個巨大集合的演化，而不是真實物理系統的演化。但在非常一般的條件下，可以將 $P_{n}(t)$ 解釋為可測量的真實機率，並因此將它們的演化與觀測到的量進行比較。

假設系統的宏觀演化速度比微觀波動慢。那麼，每個微觀組分的環境在足夠長的時間內幾乎是恆定的，足以讓它探索它的狀態空間，從而定義這些狀態的佔據機率。對於每個微觀組分 $i$ ，因此可以定義佔據狀態 $m$ 的機率 $P_{im}(t)$ ，原則上可以測量它們。假設所有微觀組分在統計上是獨立的，這些 $P_{im}(t)$ 足以定義宏觀系統所有狀態 $n$ 的機率 $P_{n}(t)$ 。

凍結的無序和可達熵的自發減少

在液態-玻璃轉變過程中，液體和冷卻它的熱浴的可達熵總量下降。玻璃的可達熵下降並沒有被熱浴的可達熵增加所抵消。因此，似乎可達熵增加定理被違反了，而它在非常一般的條件下得到了嚴格的證明。但是，當玻璃以無序的結構凍結時，其他結構在理論上仍然是可以達到的。熱浴短暫地放棄一些熱量，使玻璃再次成為液體，然後以另一種無序的結構再次成為玻璃的機率很小但非零。因此，原則上所有結構始終都是可達的，但在實踐中，玻璃保持凍結在一個結構中。可達熵增加定理認為，可達狀態空間沒有改變。它忽略了微觀狀態在實踐中變得不可達的可能性。

當各個部分在統計上相互獨立時，熵是一個廣延量

當各個部分相互獨立時，一個總體的熵等於各個部分熵的總和。

設 $a$ 和 $b$ 是系統 $ab$ 的兩個獨立部分。 $a_{i}$ 和 $b_{j}$ 分別是 $a$ 和 $b$ 的可訪問狀態。

$a$ 和 $b$ 的熵為

$S_{a}=-k_{B}\sum _{i}P_{i}^{a}\ln P_{i}^{a}$

$S_{b}=-k_{B}\sum _{j}P_{j}^{b}\ln P_{j}^{b}$

$ab$ 的所有可訪問狀態都是所有 $a_{i}b_{j}$ 狀態，對於所有 $i$ 和所有 $j$ 。如果 $a$ 和 $b$ 是獨立的，那麼 $a_{i}b_{j}$ 的機率是 $P_{i}^{a}P_{j}^{b}$ ，而 $ab$ 的熵是

$S_{ab}=-k_{B}\sum _{ij}P_{i}^{a}P_{j}^{b}\ln(P_{i}^{a}P_{j}^{b})=-k_{B}\sum _{ij}P_{i}^{a}P_{j}^{b}(\ln P_{i}^{a}+\ln P_{j}^{b})$

$=-k_{B}(\sum _{ij}P_{i}^{a}P_{j}^{b}\ln P_{i}^{a}+\sum _{ij}P_{i}^{a}P_{j}^{b}\ln P_{j}^{b})$

$=-k_{B}(\sum _{i}P_{i}^{a}\ln P_{i}^{a}+\sum _{j}P_{j}^{b}\ln P_{j}^{b})$

$=S_{a}+S_{b}$

齊拉德引擎

為了更好地理解資訊轉化為功的過程，齊拉德（1929）邀請我們思考一個用“單分子氣體”工作的引擎。

一個分子被封閉在一個可以被可移動壁隔開的容器中。當壁被放置在容器的中間時，就可以檢測到分子在兩個獨立隔室中的存在。因此，獲得了 1 位的資訊。然後，該壁用作一個活塞，分子可以在上面做功。需要知道分子的位置才能知道活塞移動的方向才能回收功。這樣，人們計算出在最佳條件下，用 1 位資訊就可以回收 $k_{B}T\ln 2$ 的功。這是分子在溫度為 $T$ 的等溫膨脹過程中對活塞做的功，該功使可訪問體積翻倍。

Szilard 引擎似乎與熱力學相矛盾，因為它暗示我們可以製造第二類永動機。如果活塞只能在一個方向上移動，那麼就沒有必要知道分子的位置來恢復功。活塞有一半時間保持靜止，因為分子位於活塞的錯誤一側，我們無法恢復任何功，但有一半時間它會移動，我們會恢復等於 $k_{B}T\ln 2$ 的功。透過多次重複實驗，我們可以獲得任意數量的功，而無需花費任何能量來了解分子的位置。

但是，這樣的過程需要一個裝置來移除活塞並將其放回原位。現在，在一個迴圈結束時，活塞可能有兩個位置，要麼在中間（如果它沒有移動），要麼在一端（如果它已移動）。因此，該裝置必須在每個迴圈結束時獲取一些資訊。為了回到其初始狀態，它必須擦除這些資訊。因此，擦除資訊的成本也出現在第二類永動機不可能的根本原因中（Leff & Rex 1990）。

Szilard 引擎證實了可達性熵可能不同於熱力學熵：當我們在單分子氣體的中間引入一個壁時，可達性熵的減少是 $k_{B}\ln 2$ 。另一方面，熱力學熵不會減少，因為氣體沒有產生熱量。對於 Szilard 引擎，可達性熵原則上可以減少任意數量。我們只需要在容器內部放置多個壁。

為什麼宇宙的熵會增加？

熵增加定律表明，宇宙的熵只能增加，它從一個低熵宏觀狀態開始，溫度很高但非常稠密，並且它的膨脹使它冷卻下來，同時增加了它的熵。但是，這種說法面臨著兩個難題。

由於宇宙是完全孤立的，它的熵（如果我們可以定義它）應該守恆。

談論宇宙的宏觀狀態實際上並沒有意義，因為談論它可能存在的微觀狀態的空間毫無意義。它處於一個單一的微觀狀態，有時被稱為宇宙的波函式。

但是，仍然有意義地說宇宙的熵在增加。我們可以為它的各個部分（恆星、行星、黑洞、星際介質……）分配熵，並發現所有這些熵的總和都在增加。但是，當我們這樣做時，我們假設各個部分在統計上是獨立的，我們忽略了它們之間的相關性。對相關性的無知會導致高估總熵。如果我們知道宇宙的微觀狀態，我們也會知道其各個部分之間的所有相關性，並且我們會注意到總熵不會增加。它將始終保持為零。但是，顯然不可能知道宇宙的微觀狀態。

參考文獻

Bennett, Charles H., The thermodynamics of computation - a review (Int. J. Theor. Phys. 21, 905-40, 1982, reproduced in Leff & Rex 1990)

Diu, Bernard, Guthmann, Claudine, Lederer, Danielle, Roulet, Bernard, Éléments de physique statistique (1989)

Feynman, Richard P., Lectures on computation (1996)

Landauer, Rolf W., Irreversibility and heat generation in the computing process (IBM J. Res. Dev. 5, 183-91, 1961, reproduced in Leff & Rex 1990)

Leff, Harvey S., Rex, Andrew F., Maxwell's demon, entropy, information, computing (1990)

Maxwell, James Clerk, Theory of heat (1871)

Sethna, James P., Statistical mechanics : entropy, order parameters and complexity (2018)

Szilard, Leo, On the decrease of entropy in a thermodynamic system by the intervention of intelligent beings (Zeitschrift für Physik, 1929, 53, 840-856, translated in Leff & Rex 1990)

下一章：多元命運的量子理論 >>>