認識論概要/ZFC 為假

要證明一個理論為假，只需要證明其公理中有一個為假即可。

策梅洛分離公理：任何良定義的公式都決定了集合的一個部分，該部分包含所有對其為真的元素，僅此而已。

該公理根據良定義公式的定義為真：當一個公式在所有應用的情況下都確定了其真或假時，它就是良定義的。

策梅洛在制定他的公理時，謹慎地沒有指定哪些公式是良定義的，因為他不知道。為了將策梅洛的理論形式化，弗蘭克爾用以下由斯科萊姆提出的原理補充了它：純集合論中用一階邏輯陳述的所有公式都是良定義的。但這個原理是錯誤的，因為這些公式可能包含諸如“對於任何集合”或“存在一個集合”之類的表示式。然而，ZFC 沒有精確地確定集合的概念。什麼是集合？什麼不是集合？所有集合的宇宙可以用多種不同的方式定義。包含“對於任何集合”的公式的真值可能取決於所選的解釋。因此，這些公式並不總是良定義的。因此，弗蘭克爾對策梅洛分離公理的表述是錯誤的。因此，ZFC 為假。

例如，如果可構造性公理為真，則 ZFC 可以證明存在等於 {} 的集合，如果它為假，則可以證明存在 {{}} 的集合。由於可構造性公理的真值取決於所有集合的宇宙的定義，因此這個 ZFC 允許證明存在的集合不是良定義的。一個沒有良定義的集合根本就不是集合。它不存在。ZFC 允許證明錯誤的定理，因此它為假。

為了糾正弗蘭克爾的錯誤，只需要在集合的定義中禁止無界量詞。對於替換公理，我們需要良定義函式關係的理論。

ZFC 是迄今為止全世界幾乎所有數學家在過去 70 多年中採用的標準理論，作為數學知識的基礎。