實用電子學/串聯RLC電路

由3個元件串聯連線的電路

電路響應

平衡響應

在平衡狀態下，所有電壓之和等於零

$v_{L}+v_{C}+v_{R}=0$

$L{\frac {di}{dt}}+{\frac {1}{C}}\int idt+iR=0$

${\frac {d^{2}i}{dt^{2}}}+{\frac {R}{L}}{\frac {di}{dt}}+{\frac {1}{LC}}i=0$

以上方程式可以寫成如下形式

${\frac {d^{2}i}{dt^{2}}}=-2\alpha {\frac {di}{dt}}-\beta i$

其中

$\alpha ={\frac {R}{2L}}=\beta \gamma$

$\beta ={\frac {1}{LC}}={\frac {1}{T}}$

$T=LC$

$\gamma =RC$

以上二階微分方程的根

• $\alpha =\beta$

$i(t)=Ae^{-\alpha t}$

• $\alpha >\beta$

$i(t)=Ae^{(-\alpha \pm \lambda )t}$

• $\alpha <\beta$

$i(t)=Ae^{(-\alpha \pm j\omega )t}=A(\alpha )\sin \omega t$

共振響應

電路的總阻抗

$Z=Z_{R}+Z_{L}+Z_{C}=R+0=R$

$i={\frac {V}{R}}$

$Z_{L}=Z_{C}$

$j\omega L={\frac {1}{j\omega C}}$

$\omega _{o}=\pm j{\sqrt {\frac {1}{T}}}$

$T=LC$

當 $\omega _{o}=\pm j{\sqrt {\frac {1}{T}}}$ 時，電路的總阻抗為 Z = R。因此，電流等於 $i={\frac {V}{R}}$

當 $\omega =0.Z_{C}=oo$ 時，電容使電路斷開。因此，電流等於零。

當 $\omega =oo.Z_{L}=oo$ 時，電感使電路斷開。因此，電流等於零。