專案估值

折現現金流

在公司理財中，通常需要確定一個專案是否值得投資。有時，只有足夠的投資資金來進行部分專案，在這種情況下，必須確定要進行哪個專案。

標準方法是使用 **淨現值**，或 NPV。NPV 的計算方法是找出將發生的全部現金流，並將它們折現回現在。這也包括費用，因此是 **淨** 現值。

例如

STDs Unlimited 正在試圖確定是否要購買一臺新的機器。這臺機器將花費 1,000,000 美元，並在 10 年內每年節省 170,000 美元，在那時它將以 50,000 美元的價格出售。5 年後，機器將需要大修，費用為 100,000 美元。如果公司對這類專案使用 7% 的貼現率，購買機器的 NPV 是多少？公司應該做嗎？

我們必須做的第一件事是找出這個專案的總成本節約。每年將會有 170,000 美元的正現金流，必須將它們每年折現回現在

$\sum _{t=1}^{10}{\frac {170,000}{(1.07)^{t}}}=1,194,009$

因此，我們可以看到這個專案將帶來 1,194,009 美元的節約。此外，它將在第 10 年出售時帶來 50,000 美元的收入，因此我們找到它的現值

${\frac {50,000}{(1.07)^{10}}}=25,417$

因此，我們把它們加起來得到總正現金流 1,219,426 美元。

從這個金額中，我們必須減去成本。我們知道最初的現金支出是 1,000,000 美元，但我們必須找到第 5 年發生的大修的現值

${\frac {100,000}{(1.07)^{5}}}=\$71,299$

因此，現在我們可以計算所有成本的現值：1,000,000 + 71,299 = 1,071,299。

然後我們只需從正現金流中減去負現金流，就可以看到

$NPV=1,219,426-1,071,299=\$148,127$

因此，由於該專案的 NPV 為正，因此公司應該繼續進行該專案。

折舊稅盾

在前面的例子中，我們沒有計算出一個重要的益處，必須在現實生活中的例子中考慮：稅收。當公司購買一臺裝置時，他們將對其進行 **折舊**。這意味著他們不必為相當於他們用於資本投資的金額的收入繳納稅款。

讓我們考慮上面的例子。我們在沒有稅收的情況下得到了 148,127 美元的 NPV，所以讓我們看看在對初始投資進行折舊時會發生什麼

假設 STDs Unlimited 決定使用直線折舊法在 10 年內折舊 1,000,000 美元的機器。折舊稅盾的價值是多少？新的 NPV 是多少？

直線折舊法意味著每年折舊的金額相同，持續 10 年。因此，在這個例子中，折舊為每年 100,000 美元。這意味著在賬面上，公司每年將在機器上花費 100,000 美元，而不是一次性支付 1,000,000 美元。這在邏輯上更有意義，因為公司將在未來 10 年中使用這臺機器。稅盾等於以下內容

$\sum _{t=1}^{n}{\frac {AnnualDepreciation*Taxrate}{(1+r)^{t}}}$

在這種情況下，它將是

${\frac {(100,000*.35)}{1.07}}+{\frac {(100,000*.35)}{1.07^{2}}}+{\frac {(100,000*.35)}{1.07^{3}}}+...+{\frac {(100,000*.35)}{1.07^{10}}}=\$245,825$

正如我們所見，這是一個顯著的節省。

在這個例子中，我們必須再走一步。由於我們折舊了機器的全部價值，我們實際上是在告訴政府，它在 10 年後毫無價值。然而，由於我們在第 10 年結束時以 50,000 美元的價格出售它，因此它顯然不是毫無價值的。為了糾正這一點（並避免審計和高昂的罰款），我們必須在第 10 年對這 50,000 美元繳納稅款。這個金額顯然是 0.35 * 50,000 = 17,500。由於我們直到第 10 年才支付這筆款項，因此我們將這筆金額折現 10 年（17,500 / (1.07^10)），得到 8,896 美元。然後，我們將這個金額從 245,825 美元的稅盾中減去，得到 236,929 美元。

因此，我們可以看到，我們從折舊中獲得的總稅收節約為 236,929 美元，我們將它新增到我們 148,127 美元的 NPV 中，得到該專案的最終 NPV 為 385,056 美元。

等效年成本

當一家公司考慮使用兩臺將在很長一段時間內使用的機器時，有時需要使用等效年成本來確定哪臺機器是更好的投資。

例如

假設一家高檔伏特加公司正在考慮購買兩臺蒸餾機器中的一臺。機器 A 售價 45,000 美元，使用壽命為 5 年，更換後每年運營成本為 10,000 美元。機器 B 售價 50,000 美元，使用壽命為 7 年，每年運營成本為 11,000 美元。現在，如果我們採用成本的淨現值 (NPV) 來計算，很明顯機器 B 的淨現值會更低（意味著它的成本更高）。我們使用 8% 的貼現率。

NPV_A=-$84,927

NPV_B=-$107,270

現在，如果我們只看淨現值，我們會選擇機器 A，因為它成本更低。但是，這沒有考慮到機器 B 的更換頻率更低。為了正確評估這些選擇，我們必須使用等效年成本。

$EAC={\frac {NPV}{n-yearannuityfactor}}$

年金係數定義為在貼現率為r的情況下，每年獲得 1 美元，持續 n 年的現值。計算 n 年年金係數的公式如下

${\frac {1}{r}}-{\frac {1}{r(1+r)^{n}}}$

使用此公式，我們可以看到 8% 的 5 年年金係數為 3.99，而 7 年年金係數為 5.2。

因此，為了找到這些專案的等效年成本，我們將它們的各自的淨現值除以它們的各自的年金係數

機器 A	機器 B
$EAC_{A}={\frac {84,927}{3.99}}=\$21,284$	$EAC_{B}={\frac {107,270}{5.2}}=\$20,628$

因此，我們可以看到，儘管機器 A 似乎成本更低，但實際上機器 B 從長遠來看更便宜，因為它更換頻率更低。

協同效應/侵蝕

在評估專案時，必須考慮它將如何影響業務的其他部分。例如，假設您是一家銷售 X1000 高階電腦和 X500 經濟型電腦的電腦商店的首席財務官。如果您正在考慮推出新的 X750 中端電腦系列，您必須考慮到這可能會侵蝕高階產品線的部分業務。也就是說，一些本來可能會購買更昂貴的 X1000 的客戶現在可能會選擇 X750。

另一方面，一些新專案可能會為其他產品線創造協同效應或效益。例如，如果您從事石油煉製業務，並且您正在考慮開採自己的油井，這可能會降低煉油廠的成本。因此，這也必須作為淨現值計算中的額外效益進行新增。

沉沒成本

沉沒成本是指公司已經花費在專案上的支出。重要的是要認識到，沉沒成本已經支出，並且不計入淨現值方程。例如，如果您的公司聘請諮詢公司評估客戶對新產品線的反應，則不將其計入淨現值計算。無論您是否決定推出新產品線，您都已經花費了諮詢公司的費用。

同樣重要的是要了解機會成本和沉沒成本之間的區別。假設 XYZ 公司以 100,000 美元的價格購買了一塊土地。他們多年來沒有對這塊土地做任何事，然後決定在上面建造一座工廠。在計算工廠的淨現值時，土地的成本不是沉沒成本。仍然可以出售這塊土地或用它做其他事情，因此必須將其包括在內。

內部收益率

另一個常用的專案估值指標是內部收益率 (IRR)。IRR 是將貼現率應用於專案時，使淨現值 (NPV) 為零的貼現率。讓我們使用一個簡單的例子

假設您將投入 100,000 美元用於一個專案。該專案將在第 1 年產生 15,000 美元的現金流，在第 2 年產生 50,000 美元的現金流，在第 3 年產生 70,000 美元的現金流。IRR 是多少？

為了解決這個問題，我們必須建立一個淨現值方程，並將其設定為零

$0=-100,000+{\frac {15,000}{1+r}}+{\frac {50,000}{(1+r)^{2}}}+{\frac {70,000}{(1+r)^{3}}}$

然後我們只需解出 r。當然，由於這個方程中有 3 個變數，我們無法用代數方法來解，必須使用財務計算器、Excel 或某種圖形程式或計算器。使用財務計算器，可以找到答案為 13.454%。因此，如果公司的資本成本為 13%，則該專案值得進行。但是，如果公司要求 13.5% 的回報，則該專案不智。

使用 IRR 評估專案有一個需要注意的地方。IRR 是一個比率，而不是一個金額。因此，如果您的公司必須在兩個專案中選擇一個，一個是 IRR 為 8%，另一個是 IRR 為 11%，那麼 IRR 為 11% 的專案並不總是最佳選擇。

	專案 A	專案 B
初始投資	$100,000	$1,000
1 年後的回報	$108,000	$1,110
總利潤	$8,000	$110
IRR	8%	11%

所以您會看到，IRR 較高的專案最終給公司的淨收益少得多，因為這些專案是相互排斥的。資源分配的一個例子可能是，可以進行 70 個專案 B，而專案 A 只能進行 1 個。專案 B 的 IRR 較高，並且在投入 70,000 美元的情況下將產生 7700 美元的收益，不計管理成本，而 1 個專案 A 將在投入 100,000 美元的情況下產生 8000 美元的收益，並且管理成本可能更低。對於付出努力、工作或承擔風險，資本的回報率將是 7.7% 或 8%，而定期存款的回報率為 3%，而且沒有任何努力，（假設稅收抵免，例如，對於資本裝置/工廠/裝置/財產的折舊，已經透過減少稅收支付現金流出量來考慮，這些現金流出量已包含在年度現金流量計算中）。

附錄: 內部收益率 (IRR) 計算演算法

IRR 是一種類似於二分搜尋程式中的錯誤的猜測演算法。對於一個 IRR 為正的專案，可以使用兩個**互質**因子，一個用於在淨現值 (NPV) 仍然為正時增加 IRR (乘以大於 1 的因子)，另一個用於在 NPV 為負時降低 IRR (除以大於 1 的因子)，這樣嘗試的 IRR 值不太可能迴圈，因為乘法和除法中缺乏公因子。

以下是用於 IRR 計算的 Python 演算法，它還處理當猜測顯示 IRR 接近零時轉為負 IRR 的情況。

# copyright GNU license, sjt,2014
def irr(cashflows):
  #print cashflows
  
  r = 10.
  
  lim =0.1 
  sign = 1  
  while True:
    npv = reduce( lambda x,(i,cf): x + cf / pow(1 + r/100, i ) , \
          enumerate(cashflows), 0.)


    print npv

    #cf= []
    #for i,x in enumerate(cashflows):
    #    lr = pow((1 + r/100), i)
    #    y = x / lr
    #    print "lr", lr, "y", y
    #    cf.append(y)
    #print reduce( lambda x, y: x + y, cf)
    
    if abs(npv) < lim:
	break
    
    if npv  * sign > 0:
        r = r * 1.9
    else:
        r = r / 1.3
        if sign > 0 and r < 0.0001:
          r = - 20.
          sign = -1

  print "irr = ", r

cashflows=[-60000, 7000,9000,6000,5000,8000]

irr(cashflows)

這是一個相當隨機的演算法；**牛頓法**已被提到在開源電子表格程式中使用。

牛頓法依賴於微分，或找到一個導數函式來告訴另一個函式的圖形的斜率。基本規則是，如果有一個項是**axⁿ**，則導數將有一個項，**n.ax^n-1**。

NPV 函式是回報率 R 的函式，使得 NPV 為 y，R 為一般函式 y = f(x) 中的 x。因此，NPV 函式的導數為 dy/dx = d(npv)/d(R)，這需要找到 NPV 函式中所有項的導數。

在牛頓法中，一個任意的 R（即 x）給出一個 NPV（即 y 值），當除以梯度（即 delta-y/delta-x）時，給出 delta-x，它從 R（替換 x）中減去，給出另一個更接近 IRR 的 R'，當 NPV = 0 時（或 y 為零的 x 值，或函式與 x 軸相交的地方）。使用 R' 作為下一個 R，重複此過程，直到獲得 IRR 的良好近似值。梯度在每次迭代開始時總是使用導數函式重新計算。

所以如果 npv = CF₀ / R⁰ + CF₁ / R¹ + .. + CF_n / Rⁿ,

或 npv = CF₀ + CF₁ x R^-1 + CF₂ x R^-2 + .. + CF_n x R^-n,

則 d(npv)/dR = 0 + - CF₁x R ^-2 + - 2 CF₂x R ^-3 ... + -n x CF_n x R^{-n - 1}。

參見

重定向計算而不是表格查詢