(本附錄應在首次閱讀 [/contents/2600d768-e2cf-4eb7-a936-db24ea0a10a8 歡迎來到經濟學！]後參考) 經濟學不是數學。本課程中沒有一個重要的概念不能用數學來解釋。也就是說，數學是一種可以用來闡釋經濟概念的工具。還記得“一張圖片勝過千言萬語”這句諺語嗎？不要想圖片，想想圖表。它們是一樣的。經濟學家使用模型作為主要的工具來推匯出關於經濟問題和挑戰的見解。數學是處理（或操縱）經濟模型的一種方式。

還有其他表示模型的方法，例如文字或敘述。但是，如果你有錘子，為什麼要用拳頭敲釘子呢？數學比文字具有一定的優勢。它透過讓你精確地說明你的意思來規範你的思維。在腦海中你可以逃避模糊的思維，但在將模型簡化為代數方程時，你卻不能。同時，數學也存在缺點。數學模型必然基於簡化的假設，因此它們不可能完全現實。數學模型也缺乏在敘述模型中可以找到的細微差別。關鍵是數學是一種工具，但它不是唯一的工具，甚至也不是經濟學家可以使用的最佳工具。那麼，這本書你需要哪些數學知識呢？答案是：比高中代數和圖形多一點點。你需要知道

什麼是函式
如何解釋一條線的方程（即斜率和截距）
如何操縱一條線（即改變斜率或截距）
如何計算和解釋增長率（即百分比變化）
如何閱讀和操縱圖表

在這本書中，我們將使用盡可能簡單的數學，並且將在本附錄中介紹它。因此，如果你在書中發現了一些你無法理解的數學，請返回本附錄複習。就像大多數事物一樣，數學也有邊際收益遞減。一點點數學能力可以走很遠；你帶來的數學知識越高階，它為你帶來的額外知識就越少。也就是說，如果你要主修經濟學，你應該考慮學習一些微積分。從幫助你更快地學習高階經濟學方面來說，這將是值得的。

代數模型

經濟模型（或模型的一部分）通常用數學函式來表達。什麼是函式？函式描述了一種關係。有時這種關係是一個定義。例如（用文字），你的教授是亞當·斯密。這可以表示為教授 = 亞當·斯密。或朋友 = 鮑勃 + 肖恩 + 瑪格麗特。

在經濟學中，函式通常描述因果關係。左側的變數是被解釋的變數（“影響”）。右側是解釋變數（“原因”）。例如，假設你的 GPA 如下確定

這個方程式表明你的 GPA 取決於三件事：你的 SAT 總分、你的課堂出勤率以及你花費在學習上的時間。它還表明學習時間是 SAT 總分 (0.25) 或課堂出勤率 (0.25) 兩倍的重要性 (0.50)。如果這種關係成立，你如何提高 GPA？不要逃課，多學習。請注意，你無法改變你的 SAT 分數，因為如果你在大學，你（可能）已經參加過 SAT 考試了。

當然，經濟模型使用經濟變數來表達關係，比如預算 = 花在經濟學書籍上的錢 + 花在音樂上的錢，假設你唯一購買的東西是經濟學書籍和音樂。

在本課程中，我們使用的大多數關係都表示為以下形式的線性方程

圖形化表達方程

圖形用於兩個目的。第一個是直觀地表達方程，第二個是顯示統計資料或資料。本節將討論直觀地表達方程。

對數學家或經濟學家來說，變數是指可以取一系列值的量的名稱。在上述直線方程中，x 和 y 是變數，x 在水平軸上，y 在垂直軸上，b 和 m 代表決定直線形狀的因素。為了瞭解這個方程是如何工作的，考慮一個數值示例

在這個特定直線的方程中，b 項等於 9，m 項等於 3。 [連結] 顯示了給定方程的 x 和 y 的值。 [連結] 顯示了圖表中的這個方程以及這些值。要構建表格，只需輸入一系列不同的 x 值，然後計算 y 的值。在圖中，這些點被繪製出來，並且一條直線穿過它們。

斜率截距方程的值
x	y
0	9
1	12
2	15
3	18
4	21
5	24
6	27

這個例子說明了直線方程中的 b 和 m 項如何確定直線的形狀。b 項稱為 y 截距。這個名稱的原因是，如果 x = 0，那麼 b 項將揭示直線與 y 軸的交點或交叉點。在這個例子中，直線在 9 處與垂直軸相交。直線方程中的 m 項是斜率。記住，斜率定義為上升量除以執行量；更準確地說，從一點到另一點的直線的斜率是垂直軸的變化量除以水平軸的變化量。在這個例子中，每當 x 項增加 1（執行量）時，y 項就會增加 3。因此，這條直線的斜率是 3。指定一個 y 截距和一個斜率——也就是說，在直線方程中指定 b 和 m——將識別一條特定的直線。雖然現實世界中的資料點很少像一條精確的直線那樣排列，但事實證明，一條直線可以很好地近似實際資料。

解釋斜率

斜率的概念在經濟學中非常有用，因為它衡量了兩個變數之間的關係。正斜率意味著兩個變數呈正相關；也就是說，當 x 增加時，y 也增加，或者當 x 減少時，y 也減少。圖形上，正斜率意味著當直線圖上的直線從左向右移動時，直線上升。本附錄後面顯示的長度-重量關係 [連結] 具有正斜率。我們將在其他章節中瞭解到，價格和供給量呈正相關；也就是說，當價格較高時，企業會提供更多商品。

負斜率意味著兩個變數呈負相關；也就是說，當 x 增加時，y 減少，或者當 x 減少時，y 增加。圖形上，負斜率意味著當直線圖上的直線從左向右移動時，直線下降。本附錄後面顯示的海拔-空氣密度關係 [連結] 具有負斜率。我們將瞭解到，價格和需求量呈負相關；也就是說，當價格較高時，消費者購買的商品會減少。

斜率為零意味著 x 和 y 之間沒有關係。圖形上，這條直線是平坦的；也就是說，上升量除以執行量為零。 [連結] 的失業率，在本附錄後面顯示，說明了許多直線圖的常見模式：一些斜率為正的段，另一些斜率為負的段，還有一些斜率接近於零的段。

可以透過數值計算出兩點之間直線的斜率。要計算斜率，首先將一個點指定為“起點”，另一個點指定為“終點”，然後計算這兩個點之間的上升量除以執行量。例如，考慮空氣密度圖中表示海拔 4,000 米和 6,000 米的點之間的斜率

上升量：垂直軸上變數的變化量（終點減去起點）

執行量：水平軸上變數的變化量（終點減去起點）

因此，這條直線在這兩點之間的斜率將是，從海拔 4,000 米到 6,000 米，空氣的密度每增加 1,000 米，就會減少大約 0.1 公斤/立方米。

假設一條直線的斜率增加。圖形上，這意味著它會變得更陡峭。假設一條直線的斜率減小。然後它會變得更平坦。無論斜率最初是正的還是負的，這些條件都是成立的。較大的正斜率意味著直線向上傾斜更陡峭，而較小的正斜率意味著直線向上傾斜更平坦。絕對值更大（即更負）的負斜率意味著直線向下傾斜更陡峭。斜率為零是水平平坦的直線。垂直直線的斜率是無限的。

假設一條直線的截距更大。圖形上，這意味著它會從舊的原點向外（或向上）移動，平行於舊的直線。如果一條直線的截距更小，它會向內（或向下）移動，平行於舊的直線。

用代數求解模型

經濟學家經常使用模型來回答一個具體問題，例如：如果經濟以每年 3% 的速度增長，失業率會是多少？回答具體問題需要求解代表模型的方程“系統”。

假設個人披薩的需求由以下方程給出

其中 Qd 是消費者想要購買的個人披薩數量（即需求量），P 是披薩的價格。假設個人披薩的供給為

其中 Qs 是生產商將供應的披薩數量（即供給量）。

最後，假設個人披薩市場在供給等於需求的情況下執行，或者

現在我們有一個由三個方程和三個未知數 (Qd、Qs 和 P) 組成的系統，我們可以用代數求解

由於 Qd = Qs，我們可以將需求方程和供給方程設為相等

從兩邊減去 2 並加上 2P，得到

換句話說，每個個人披薩的價格將是 2 美元。消費者會買多少？

將 2 美元的價格代入需求方程，得到

因此，如果價格為每份 2 美元，消費者將購買 12 份。生產商會供應多少？將 2 美元的價格代入供給方程，得到

因此，如果價格為每份 2 美元，生產商將供應 12 份個人披薩。這意味著我們計算正確，因為 Qd = Qs。

用圖形求解模型

如果您不擅長代數，您可以透過使用圖形得到相同的答案。將 Qd 和 Qs 的方程取出來，並在同一個座標軸上作圖，如 [連結] 所示。由於 P 在縱軸上，所以最簡單的方法是將每個方程都解出 P。然後，需求曲線為 P = 8 – 0.5Qd，供給曲線為 P = –0.4 + 0.2Qs。請注意，縱軸截距分別為 8 和 –0.4，需求的斜率為 –0.5，供給的斜率為 0.2。如果您仔細繪製圖形，您會發現它們交匯的地方（Qs = Qd），價格為 2 美元，數量為 12，這與代數預測的結果一致。

我們將在本書中比代數更頻繁地使用圖形，但現在您已經瞭解了圖形背後的數學原理。

增長率

增長率在現實經濟學中經常遇到。增長率只是某個數量的百分比變化。它可能是您的收入。它可能是企業的銷售額。它可能是國家的 GDP。計算增長率的公式很簡單

假設您的工作每小時支付 10 美元。但是，您的老闆對您的工作印象深刻，他給您加薪 2 美元。您的工資的百分比變化（或增長率）為 2 美元/10 美元 = 0.20 或 20%。

要計算擴充套件時間段內資料的增長率，例如十年或更長時間內的 GDP 平均年增長率，分母通常定義略有不同。在前面的示例中，我們將數量定義為初始數量，即我們開始時的數量。對於一次性計算，這很好，但是當我們反覆計算增長率時，將數量定義為所討論期間的平均數量更有意義，它被定義為初始數量與下一個數量之間的一半。這用文字解釋起來比用例子展示更難。假設某個國家的 GDP 在 2005 年為 1 萬億美元，在 2006 年為 1.03 萬億美元。2005 年至 2006 年的增長率將是 GDP 變化（1.03 萬億美元 - 1.00 萬億美元）除以 2005 年至 2006 年的平均 GDP （1.03 萬億美元 + 1.00 萬億美元）/2。換句話說

請注意，如果我們使用第一種方法，計算結果將是（1.03 萬億美元 - 1.00 萬億美元）/ 1.00 萬億美元 = 3% 的增長，這與第二種更復雜的方法基本相同。如果您需要粗略估計，請使用第一種方法。如果您需要準確性，請使用第二種方法。

要記住的幾點：正增長率表示數量正在增長。較小的增長率表示數量增長較慢。較大的增長率表示數量增長較快。負增長率表示數量正在下降。

相同變化隨時間推移會產生較小的增長率。如果您每年加薪 2 美元，在第一年，增長率將是 2 美元/10 美元 = 20%，如上所示。但在第二年，增長率將是 2 美元/12 美元 = 0.167 或 16.7% 的增長。在第三年，相同的 2 美元加薪將對應於 2 美元/14 美元 = 14.2%。這個故事的寓意是：要保持相同的增長率，每期的變化必須增加。

以圖形方式顯示資料並解釋圖形

圖形還用於顯示資料或證據。圖形是呈現數字模式的一種方法。它們將詳細的數字資訊壓縮成一種視覺形式，在這種形式中，可以更容易地看到關係和數字模式。例如，哪些國家的人口更多或更少？一位仔細的讀者可以檢查代表許多國家人口的數字列表，但世界上有 200 多個國家，瀏覽這樣一個列表需要集中精力和時間。將這些相同的數字放在圖表上可以快速揭示人口模式。經濟學家使用圖表來簡潔清晰地呈現數字組，並幫助直觀地理解關係和聯絡。

本書中使用了三種類型的圖表：折線圖、餅圖和條形圖。下面將對每種型別進行討論。我們還提供了一些警告，說明如何操縱圖表來改變檢視者對資料中關係的看法。

折線圖

我們之前討論過的圖形被稱為折線圖，因為它們顯示了兩個變數之間的關係：一個在橫軸上測量，另一個在縱軸上測量。

有時將多個數據集顯示在同一個座標軸上會很有用。 [連結] 中的資料在 [連結] 中顯示，該圖顯示了兩個變數之間的關係：美國男嬰和女嬰在頭三年內的身長和中位數體重。（中位數是指一半嬰兒的體重高於此，一半嬰兒的體重低於此。）折線圖在橫軸上測量身長（英寸），在縱軸上測量體重（磅）。例如，圖上的 A 點顯示，一個身長 28 英寸的男孩的中位數體重約為 19 磅。圖上的一條線顯示了男孩的身長-體重關係，另一條線顯示了女孩的身長-體重關係。這種圖表被醫療保健提供者廣泛用於檢查孩子的身體發育是否大致正常。

美國男孩和女孩的身長-體重關係
出生至 36 個月的男孩		出生至 36 個月的女孩
身長（英寸）	體重（磅）	身長（英寸）	體重（磅）
20.0	8.0	20.0	7.9
22.0	10.5	22.0	10.5
24.0	13.5	24.0	13.2
26.0	16.4	26.0	16.0
28.0	19.0	28.0	18.8
30.0	21.8	30.0	21.2
32.0	24.3	32.0	24.0
34.0	27.0	34.0	26.2
36.0	29.3	36.0	28.9
38.0	32.0	38.0	31.3

經濟學中的所有關係都不是線性的。有時它們是曲線。 [連結] 提供了另一個折線圖示例，它代表了 [連結] 中的資料。在這種情況下，折線圖顯示了當您爬山時空氣變得多麼稀薄。圖的橫軸顯示海拔高度，以海拔米數衡量。縱軸測量每個高度的空氣密度。空氣密度透過一立方米空間（即一個高、寬、深都為一米的盒子）中的空氣重量來衡量。如圖所示，空氣壓力在地面水平最高，隨著您向上攀登而變輕。 [連結] 顯示，一立方米的海拔 500 米的空氣重量約為 1 公斤（約 2.2 磅）。但是，隨著海拔升高，空氣密度下降。珠穆朗瑪峰頂峰的海拔約為 8,828 米，一立方米的空氣重量僅為 0.023 公斤。高山上的稀薄空氣解釋了為什麼許多登山者在到達山頂時需要使用氧氣罐。

海拔高度-空氣密度關係
海拔高度（米）	空氣密度（kg/立方米）
0	1.200
500	1.093
1,000	0.831
1,500	0.678
2,000	0.569
2,500	0.484
3,000	0.415
3,500	0.357
4,000	0.307
4,500	0.231
5,000	0.182
5,500	0.142
6,000	0.100
6,500	0.085
7,000	0.066
7,500	0.051
8,000	0.041
8,500	0.025
9,000	0.022
9,500	0.019
10,000	0.014

這兩個圖中的身長-體重關係和海拔高度-空氣密度關係代表平均值。如果您要收集不同海拔高度的實際空氣壓力資料，不同地理位置的相同海拔高度將具有略微不同的空氣密度，這取決於緯度、當地天氣條件和空氣溼度等因素。同樣，在測量之前折線圖中的兒童身高和體重時，特定身高的兒童會有一系列不同的體重，一些高於平均水平，一些低於平均水平。在現實世界中，這種資料變化很常見。研究人員的任務是以一種有助於理解典型模式的方式組織資料。統計學研究，尤其是與計算機統計和電子表格程式相結合時，對組織這種資料、繪製折線圖和尋找典型的潛在關係非常有幫助。對於大多數經濟學和社會科學專業的學生來說，統計學課程將在某個時候成為必修課。

一種常見的折線圖被稱為時間序列圖，其中橫軸顯示時間，縱軸顯示另一個變數。因此，時間序列圖顯示了一個變數如何隨時間變化。 [連結] 顯示了自 1975 年以來的美國失業率，失業率被定義為想要工作並正在尋找工作但找不到工作的成年人的百分比。每年失業率的點都繪製在圖表上，然後用一條線連線這些點，顯示自 1975 年以來失業率是如何上下波動的。折線圖可以很容易地看到，例如，在此期間的最高失業率在 1980 年代初和 2010 年略低於 10%，而失業率在 1990 年代初至 1990 年代末下降，然後在 2000 年代初上升，然後下降，然後在 2008 年至 2009 年的經濟衰退期間急劇上升。

餅圖

餅圖（有時稱為餅狀圖）用於顯示總體如何劃分為各個部分。一個圓代表一個整體。這個圓形“餅”的切片顯示了子組的相對大小。

[連結] 顯示了 1970 年、2000 年和 2030 年（預測）美國人口如何劃分為兒童、勞動年齡成年人和老年人。資訊首先在 [連結] 中用數字表示，然後在三個餅圖中表示。 [連結] 中的第一列顯示了三年中的美國人口總數。第 2-4 列根據年齡組對總數進行分類——從出生到 18 歲，從 19 歲到 64 歲，以及 65 歲及以上。在第 2-4 列中，第一個數字顯示每個年齡段的實際人數，而括號中的數字顯示該年齡段佔總人口的百分比。

美國年齡分佈，1970 年、2000 年和 2030 年（預測）
年份	總人口	19 歲及以下	20-64 歲	65 歲以上
1970	2.05 億	77.2 (37.6%)	107.7 (52.5%)	20.1 (9.8%)
2000	2.754 億	78.4 (28.5%)	162.2 (58.9%)	34.8 (12.6%)
2030	3.511 億	92.6 (26.4%)	188.2 (53.6%)	70.3 (20.0%)

在餅圖中，餅圖的每個切片代表總量的份額，或百分比。例如，50% 將是餅圖的一半，20% 將是餅圖的五分之一。 [連結] 中的三個餅圖顯示，美國 65 歲及以上人口的份額正在增長。餅圖可以讓您直觀地瞭解 1970 年、2000 年和 2030 年不同年齡組的相對大小，而無需您仔細查看錶格中的具體數字和百分比。餅圖的一些常見示例包括：按年齡、收入水平、種族、宗教、職業劃分人口；按規模、行業、員工人數對不同的企業進行分類；以及將政府支出或稅收劃分為主要類別。

條形圖

柱狀圖使用不同條形的高度來比較數量。 [連結] 列出了世界上人口最多的 12 個國家。 [連結] 在柱狀圖中提供了相同的資料。條形的高度對應於每個國家的人口。儘管您可能知道中國和印度是世界上人口最多的國家，但看到圖表上的條形如何超過其他國家有助於說明各國人口規模之間差異的程度。

世界人口最多的前 12 個國家
國家	人口
中國	1,369
印度	1,270
美國	321
印度尼西亞	255
巴西	204
巴基斯坦	190
奈及利亞	184
孟加拉國	158
俄羅斯	146
日本	127
墨西哥	121
菲律賓	101

柱狀圖可以細分，以揭示類似於我們從餅圖中獲得的資訊。 [連結] 提供了三個基於來自 [連結] 關於 1970 年、2000 年和 2030 年美國年齡分佈的資訊的柱狀圖。 [連結] (a) 為每一年顯示三條條形，代表每一年每個年齡段的人數。 [連結] (b) 為每一年僅顯示一條條形，但不同的年齡組現在在條形內被陰影化。在 [連結] (c) 中，仍然基於相同的資料，縱軸測量百分比而不是人數。在這種情況下，所有三個柱狀圖的高度都相同，代表人口的 100%，每個條形根據每個年齡組的人口百分比進行劃分。對於讀者來說，瀏覽多個柱狀圖並比較陰影區域，有時比嘗試比較多個餅圖更容易。

[連結] 和 [連結] 顯示了條形如何代表國家或年份，以及縱軸如何代表數值或百分比值。柱狀圖還可以比較大小、數量、比率、距離和其他定量類別。

比較折線圖、餅圖和柱狀圖

現在您已經熟悉了餅圖、柱狀圖和折線圖，那麼您如何知道為您的資料使用哪個圖呢？餅圖通常比折線圖更能顯示一個整體組是如何被劃分的。但是，如果餅圖有太多切片，就很難解釋。

柱狀圖在比較數量時特別有用。例如，如果您正在研究不同國家的人口，如 [連結]，柱狀圖可以顯示多個國家人口規模之間的關係。它不僅可以顯示這些關係，還可以顯示人口內部不同群體的細分。

折線圖通常是說明兩個都在變化的變數之間關係的最有效格式。例如，時間序列圖可以顯示隨著時間的推移而變化的模式，比如失業率隨時間的變化。折線圖廣泛應用於經濟學中，以展示關於價格、工資、買賣數量、經濟規模的連續資料。

圖表如何具有誤導性

圖表不僅揭示模式，還可以改變模式的感知方式。要了解這可能的一些方式，請考慮 [連結]、 [連結]和 [連結]中的折線圖。這些圖表都說明了失業率——但從不同的角度。

假設您想要一個圖表，它給人的印象是 2009 年失業率的上升並不大，或者從歷史標準來看並不特別。您可能會選擇像 [連結](a) 中那樣展示您的資料。 [連結] (a) 包含之前在 [連結]中展示的大部分相同資料，但相對於縱軸，橫軸拉伸得更長。透過將圖表擴充套件和展平，視覺效果是失業率的上升並不大，並且與過去失業率的某些上升類似。現在想象一下您想強調 2009 年失業率大幅上升。在這種情況下，使用相同的資料，您可以將縱軸相對於橫軸拉伸，就像 [連結] (b) 中那樣，這使得所有失業率的上升和下降看起來都更大。

無需更改軸的長度，但透過更改縱軸上的刻度，可以實現類似的效果。在 [連結] (c) 中，縱軸上的刻度從 0% 到 30%，而在 [連結] (d) 中，縱軸上的刻度從 3% 到 10%。與 [連結]相比，其中縱軸上的刻度從 0% 到 12%， [連結] (c) 使失業率的波動看起來更小，而 [連結] (d) 使其看起來更大。

改變圖表感知的另一種方法是透過更改圖表上繪製的點數來減少變化量。 [連結] (e) 顯示了五年平均的失業率。透過平均掉一些年與年之間的變化，線條看起來更平滑，波動更少。實際上，失業率是每月釋出的， [連結] (f) 顯示了自 1960 年以來的月度資料，這些資料比五年平均值波動更大。 [連結] (f) 也是圖表如何壓縮大量資料的生動說明。該圖表包含自 1960 年以來的月度資料，在近 50 年的時間裡，累計了近 600 個數據點。以數字形式閱讀這 600 個數據點的列表會讓人昏昏欲睡。但是，您可以從圖表中非常快地對這 600 個數據點有一個很好的直觀感受。

操縱圖表感知的最後一個技巧是，透過仔細選擇起點和終點，您可以影響對變數是上升還是下降的感知。原始資料顯示失業率總體模式在 1960 年代較低，但在 1970 年代中期、1980 年代初、1990 年代初、2000 年代初和 2000 年代後期出現激增。 [連結] (g) 然而，顯示了一個圖表，該圖表僅追溯到 1975 年，這給人的印象是，失業率在一段時間內或多或少地逐漸下降，直到 2009 年的經濟衰退將其推回到其“原始”水平——如果從 1975 年左右的高點開始，這是一個合理的解釋。

這些技巧——或者我們是否應該稱之為“演示選擇”——並不侷限於折線圖。在一個餅圖中，有很多小的切片和一個大的切片，必須有人決定最初應該使用哪些類別來產生這些切片，從而使一些切片看起來比其他切片更大。如果您正在製作柱狀圖，您可以使縱軸更高或更短，這將傾向於使條形高度的變化看起來更大或更小。

能夠閱讀圖表是一項必不可少的技能，無論是在經濟學領域還是在生活中。圖表只是一個視角或觀點，它是由本節中討論的選擇所形成的，例如包含哪些資料或時間段、資料或組如何劃分、縱軸和橫軸的相對大小、縱軸上使用的刻度是否從零開始。因此，任何圖表都應該謹慎對待，記住底層關係可能對不同的解釋持開放態度。

關鍵概念和總結

數學是理解經濟學的工具，經濟關係可以用代數或圖表來數學表達。一條直線的代數方程是 y = b + mx，其中 x 是橫軸上的變數，y 是縱軸上的變數，b 項是 y 軸截距，m 項是斜率。一條直線的斜率在直線上任何一點都是相同的，它表示兩個經濟變數之間的關係（正、負或零）。

經濟模型可以用代數或圖形方式求解。圖表允許您以視覺方式說明資料。它們可以透過壓縮數字資料並提供對資料中關係的直觀感受，來說明模式、比較、趨勢和分配。折線圖顯示了兩個變數之間的關係：一個顯示在橫軸上，一個顯示在縱軸上。餅圖顯示了某物的分配方式，例如一筆錢或一群人。餅圖中每個切片的尺寸都繪製出來以代表與之對應的整個百分比。柱狀圖使用條形的高度來顯示關係，其中每個條形代表某個實體，比如一個國家或一群人。柱狀圖上的條形也可以細分為段，以顯示子組。

任何圖表都是對主題的單一視覺視角。它留下的印象將基於許多選擇，例如包含哪些資料或時間段、資料或組如何劃分、縱軸和橫軸的相對大小、縱軸上使用的刻度是否從零開始。因此，任何圖表都應該持有一定程度的懷疑態度，記住底層關係可能對不同的解釋持開放態度。

複習問題

列舉三種圖表型別，並簡要說明何時最適合使用每種圖表型別。

折線圖上的斜率是什麼？

餅圖的切片代表什麼？

為什麼柱狀圖是說明比較的最佳方式？

正斜率的外觀與負斜率和零斜率有何不同？