此處包含的集合論概述採用樸素
定義。 (集合) 一個集合 不同 元素(s)
一個集合
示例。 (不是“明確定義”的集合)
簡單的學校課程的集合不是
我們有不同的方法來描述
文字描述：例如，一個集合 S {\displaystyle S}
列舉法：集合中的元素列在一對花括號內，例如， S = def { January, March, February, April, May, June, July, August, September, October, November, December } {\displaystyle S{\overset {\text{ def }}{=}}\{{\text{January, }}{\color {darkgreen}{\text{March, February, }}}{\text{April, May, June, July, August, September, October, November, December}}\}} 元素的順序 不重要的 { January, February, March, April, May, June, July, August, September, October, November, December } {\displaystyle \{{\text{January, }}{\color {darkgreen}{\text{February, March, }}}{\text{April, May, June, July, August, September, October, November, December}}\}} 集合生成式: { ⏟ The set of x ⏟ all elements x : ⏟ such that P ( x ) ⏟ the property P ( x ) holds } {\displaystyle \underbrace {\{} _{{\text{The set of}}\;}\underbrace {x} _{{\text{all elements }}x\;}\underbrace {:} _{\text{such that }}\underbrace {P(x)} _{{\text{the property }}P(x){\text{ holds}}}\}} (右括號也必須寫出來)。
例如， S = def { x : x is a month in a year } {\displaystyle S{\overset {\text{ def }}{=}}\{x:x{\text{ is a month in a year}}\}}
示例. (空集) 集合 { } {\displaystyle \{\}} 空集 ∅ {\displaystyle \varnothing }
練習。
示例。
apple ∈ { apple, orange, banana } {\displaystyle {\text{apple}}\in \{{\text{apple, orange, banana}}\}} ∅ ∈ { ∅ } {\displaystyle \varnothing \in \{\varnothing \}} ∅ ∉ ∅ {\displaystyle \varnothing \notin \varnothing }
練習。
示例。
設 S 1 {\displaystyle S_{1}} S 1 {\displaystyle S_{1}} { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } {\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}}
設 S 2 {\displaystyle S_{2}} S 2 {\displaystyle S_{2}} { H , T } {\displaystyle \{H,T\}} H {\displaystyle H} T {\displaystyle T}
練習. 艾米參加了一個抽獎活動，一等獎是一輛汽車。假設我們說如果艾米獲得一等獎，結果為 1，否則為 0，那麼包含所有結果的集合是什麼？
解答
這個集合是 { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}}
定義. (集合相等) 當兩個 集合 相等 相同
定義： (全集) 全集 U {\displaystyle U}
備註。
在 機率 全集 Ω {\displaystyle \Omega } 樣本空間
示例： 擲六面骰子的樣本空間為 Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } {\displaystyle \Omega =\{1,2,3,4,5,6\}}
練習。 拋硬幣的樣本空間是什麼？（使用 H {\displaystyle H} T {\displaystyle T}
解答
樣本空間是 Ω = { H , T } {\displaystyle \Omega =\{H,T\}}
定義。 （基數）基數 有限 元素的數量
示例。
# ( { { 1 } , 2 , 3 } ) = 3 {\displaystyle \#({\big \{}\{1\},2,3{\big \}})=3} # ( ∅ ) = 0 {\displaystyle \#(\varnothing )=0} N {\displaystyle \mathbb {N} } 正
練習。
在本節中，我們介紹集合之間的 關係
定義。 (韋恩圖) 一個 韋恩圖 所有
備註。
它對於說明集合之間的一些簡單關係，並使這些關係變得清晰非常有用。
我們也可以在韋恩圖中新增各種註釋，例如每個集合的基數，以及每個集合所包含的元素。
使用韋恩圖說明 子集 :
A ⊆ B (A ≠ B):
*-----------------------*
| |
| |
| *----------* | <---- B
| | | |
| | A | |
| | | |
| *----------* |
*-----------------------*
示例。
{ 1 , 3 } ⊆ { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{1,3\}\subseteq \{1,2,3\}} 韋恩圖 :
*--------------------*
| *----------* 2 |
| | 1 3 | |
| *----------* |
*--------------------*
{ { 1 } } ⊈ { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{\{1\}\}\not \subseteq \{1,2,3\}} { 1 } ∉ { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{1\}\notin \{1,2,3\}} 可以證明，對於每個集合 S {\displaystyle S} ∅ ⊆ S {\displaystyle \varnothing \subseteq S}
示例。 令 Ω {\displaystyle \Omega } S {\displaystyle S} 奇數 S ⊆ Ω {\displaystyle S\subseteq \Omega }
示例： （區間）區間 R {\displaystyle \mathbb {R} } 子集 a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} a < b {\displaystyle a<b} ( a , b ) = def { x ∈ R : a < x < b } ; [ a , b ) = def { x ∈ R : a ≤ x < b } ; ( a , b ] = def { x ∈ R : a < x ≤ b } ; [ a , b ] = def { x ∈ R : a ≤ x ≤ b } . {\displaystyle {\begin{aligned}{\color {Maroon}(}a,b{\color {Maroon})}&{\overset {\text{ def }}{=}}\{x\in \mathbb {R} :a\;{\color {Maroon}<}\;x\;{\color {Maroon}<}\;b\};\\{\color {darkgreen}[}a,b{\color {Maroon})}&{\overset {\text{ def }}{=}}\{x\in \mathbb {R} :a\;{\color {darkgreen}\leq }\;x\;{\color {Maroon}<}\;b\};\\{\color {Maroon}(}a,b{\color {darkgreen}]}&{\overset {\text{ def }}{=}}\{x\in \mathbb {R} :a\;{\color {Maroon}<}\;x\;{\color {darkgreen}\leq }\;b\};\\{\color {darkgreen}[}a,b{\color {darkgreen}]}&{\overset {\text{ def }}{=}}\{x\in \mathbb {R} :a\;{\color {darkgreen}\leq }\;x\;{\color {darkgreen}\leq }\;b\}.\\\end{aligned}}} ( − ∞ , ∞ ) = R {\displaystyle (-\infty ,\infty )=\mathbb {R} }
我們還有 [ − ∞ , ∞ ] {\displaystyle [-\infty ,\infty ]} 擴充套件實數 [ − ∞ , ∞ ] = ( − ∞ , ∞ ) ∪ { − ∞ , ∞ } {\displaystyle [-\infty ,\infty ]=(-\infty ,\infty )\cup \{-\infty ,\infty \}} ∞ {\displaystyle \infty } − ∞ {\displaystyle -\infty }
例子。 如果 A = { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle A=\{1,2,3\}} U = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } {\displaystyle U=\{1,2,3,4,5\}} A c = { 4 , 5 } {\displaystyle A^{c}=\{4,5\}}
文氏圖 :
*-----------------------*
| |
| A 4 5 |
| *----------* |
| | | | <---- U
| | 1 2 3 | |
| | | |
| *----------* |
*-----------------------*
練習。
機率論大量使用了集合運算，本節將對此進行討論。
備註。
A ∪ B {\displaystyle A\cup B}
示例。
{ apple , orange } ∪ { orange , red } = { apple , orange , red } {\displaystyle \{{\text{apple}},{\text{orange}}\}\cup \{{\text{orange}},{\text{red}}\}=\{{\text{apple}},{\text{orange}},{\text{red}}\}} 文氏圖 :
*----------------*
| |
| red *-------*--------*
| | orange| |
*--------*-------* |
| apple |
*----------------*
下面介紹並集運算具有的某些基本性質：交換律和結合律。
備註。
由於結合律，我們可以毫不含糊地寫出三個或更多集合的並集。例如，我們可以直接寫 A ∪ B ∪ C {\displaystyle A\cup B\cup C} A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C {\displaystyle A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C}
示例。 設 A 1 = { 1 , 2 } , A 2 = { 3 , 4 , 5 } {\displaystyle A_{1}=\{1,2\},A_{2}=\{3,4,5\}} A 3 = { 6 , 7 } {\displaystyle A_{3}=\{6,7\}}
⋃ i = 1 3 A i = A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } {\displaystyle \bigcup _{i=1}^{3}A_{i}=A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}=\{1,2,3,4,5,6,7\}} ⋃ i = 2 3 A i = A 2 ∪ A 3 = { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } {\displaystyle \bigcup _{i=2}^{3}A_{i}=A_{2}\cup A_{3}=\{3,4,5,6,7\}} A 1 ∪ A 3 = { 1 , 2 , 6 , 7 } {\displaystyle A_{1}\cup A_{3}=\{1,2,6,7\}} ( ⋃ i = m n A i {\displaystyle \bigcup _{i=m}^{n}A_{i}} A m ∪ A m + 1 ∪ ⋯ ∪ A n {\displaystyle A_{m}\cup A_{m+1}\cup \dotsb \cup A_{n}} n > m {\displaystyle n>m} ⋃ i = m ∞ A i {\displaystyle \bigcup _{i=m}^{\infty }A_{i}} A m ∪ A m + 1 ∪ ⋯ {\displaystyle A_{m}\cup A_{m+1}\cup \dotsb }
備註。
A ∩ B {\displaystyle A\cap B}
示例。
{ 1 , 2 , 3 } ∩ { 2 , 3 , 4 } = { 2 , 3 } {\displaystyle \{1,2,3\}\cap \{2,3,4\}=\{2,3\}} { 1 , 2 , 3 } ∩ { 4 , 5 , 6 } = ∅ {\displaystyle \{1,2,3\}\cap \{4,5,6\}=\varnothing }
例子。 集合 { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{1,2,3\}} { 4 , 5 , 6 } {\displaystyle \{4,5,6\}}
備註。
也就是說， A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} 不相交
如果多個集合是 成對 不相交
文氏圖
*-----* *-----* *-----*
| | | | | |
| A | | B | | C |
*-----* *-----* *-----*
(A, B and C are disjoint)
*----------------*
| | <---- D
| *--* *-------*--------*
| | | | | |
*-*--*---*-------* | <--- E
| | | |
*--* *----------------*
^
|
F
(D, E and F are not disjoint, but E and F are disjoint)
示例。 對於每個正整數 j {\displaystyle j} A j = { n ∈ N : n ≥ j } {\displaystyle A_{j}=\{n\in \mathbb {N} :n\geq j\}} ⋂ i = 1 10 A i = { 1 , 2 , 3 , … } ∩ { 2 , 3 , 4 , … } ∩ ⋯ ∩ { 10 , 11 , 12 , … } = { 10 , 11 , 12 , … } = { n ∈ N : n ≥ 10 } = A 10 . {\displaystyle \bigcap _{i=1}^{10}A_{i}=\{1,2,3,\dotsc \}\cap \{2,3,4,\dotsc \}\cap \dotsb \cap \{10,11,12,\dotsc \}=\{10,11,12,\dotsc \}=\{n\in \mathbb {N} :n\geq 10\}=A_{10}.}
以下結果將並集運算和交集運算結合在一起。
示例。 令 A = { 1 , 2 , 3 } , B = { 2 , 3 , 4 } {\displaystyle A=\{1,2,3\},B=\{2,3,4\}} C = { 1 , 5 , 6 } {\displaystyle C=\{1,5,6\}} A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) {\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)} A , B , C {\displaystyle A,B,C}
解 A ∩ ( B ∪ C ) = A ∩ { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } = { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle A\cap (B\cup C)=A\cap \{1,2,3,4,5,6\}=\{1,2,3\}} ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) = { 2 , 3 } ∪ { 1 } = { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle (A\cap B)\cup (A\cap C)=\{2,3\}\cup \{1\}=\{1,2,3\}}
練習。 驗證這三個集合是否滿足分配律 (b)。
解答
首先， A ∪ ( B ∩ C ) = A ∪ ∅ = A = { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle A\cup (B\cap C)=A\cup \varnothing =A=\{1,2,3\}} ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) = { 1 , 2 , 3 , 4 } ∩ { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 } = { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle (A\cup B)\cap (A\cup C)=\{1,2,3,4\}\cap \{1,2,3,5,6\}=\{1,2,3\}}
示例。
{ 1 , 2 , 3 } ∖ { 1 , 2 } = { 3 } {\displaystyle \{1,2,3\}\setminus \{1,2\}=\{3\}} { 1 , 2 , 3 } ∖ { 1 , 2 , 3 } = ∅ {\displaystyle \{1,2,3\}\setminus \{1,2,3\}=\varnothing } { 1 , 2 , 3 } ∖ { 4 , 5 , 6 } = { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{1,2,3\}\setminus \{4,5,6\}=\{1,2,3\}}
定理。 (德摩根定律) 令 B , A 1 , A 2 , … {\displaystyle B,A_{1},A_{2},\dotsc } B ∖ ( A 1 ∪ A 2 ∪ ⋯ ) = ( B ∖ A 1 ) ∩ ( B ∖ A 2 ) ∩ ⋯ and B ∖ ( A 1 ∩ A 2 ∩ ⋯ ) = ( B ∖ A 1 ) ∪ ( B ∖ A 2 ) ∪ ⋯ {\displaystyle B\setminus (A_{1}\cup A_{2}\cup \dotsb )=(B\setminus A_{1})\cap (B\setminus A_{2})\cap \dotsb {\text{ and }}B\setminus (A_{1}\cap A_{2}\cap \dotsb )=(B\setminus A_{1})\cup (B\setminus A_{2})\cup \dotsb }
備註。
特殊情況 : 如果 B = U {\displaystyle B=U} ( A 1 ∪ A 2 ∪ ⋯ ) c = A 1 c ∩ A 2 c ∩ ⋯ and ( A 1 ∩ A 2 ∩ ⋯ ) c = A 1 c ∪ A 2 c ∪ ⋯ {\displaystyle (A_{1}\cup A_{2}\cup \dotsb )^{c}=A_{1}^{c}\cap A_{2}^{c}\cap \dotsb {\text{ and }}(A_{1}\cap A_{2}\cap \dotsb )^{c}=A_{1}^{c}\cup A_{2}^{c}\cup \dotsb }
示例. 令 A = { 1 , 2 , 3 } , B = { 1 , 3 } , C = { 1 , 2 , 3 , 4 } {\displaystyle A=\{1,2,3\},B=\{1,3\},C=\{1,2,3,4\}} U = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } {\displaystyle U=\{1,2,3,4,5\}} A , B , C {\displaystyle A,B,C}
(a) 驗證 A ∖ ( B ∪ C ) = ( A ∖ B ) ∩ ( A ∖ C ) {\displaystyle A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)}
(b) 驗證 C ∖ ( A ∪ B ) = ( C ∖ A ) ∪ ( C ∖ B ) {\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)}
解答
(a) 首先， A ∖ ( B ∪ C ) = A ∖ { 1 , 2 , 3 , 4 } = ∅ {\displaystyle A\setminus (B\cup C)=A\setminus \{1,2,3,4\}=\varnothing } ( A ∖ B ) ∩ ( A ∖ C ) = { 2 } ∩ ∅ = ∅ {\displaystyle (A\setminus B)\cap (A\setminus C)=\{2\}\cap \varnothing =\varnothing }
(b) 首先， C ∖ ( A ∪ B ) = C ∖ { 1 , 2 , 3 } = { 4 } {\displaystyle C\setminus (A\cup B)=C\setminus \{1,2,3\}=\{4\}} ( C ∖ A ) ∪ ( C ∖ B ) = { 4 } ∩ { 2 , 4 } = { 4 } {\displaystyle (C\setminus A)\cup (C\setminus B)=\{4\}\cap \{2,4\}=\{4\}}
練習. 驗證 ( A ∪ B ∪ C ) c = A c ∩ B c ∩ C c {\displaystyle (A\cup B\cup C)^{c}=A^{c}\cap B^{c}\cap C^{c}} A , B , C {\displaystyle A,B,C}
解答
首先， ( A ∪ B ∪ C ) c = ( { 1 , 2 , 3 , 4 } ) c = { 5 } {\displaystyle (A\cup B\cup C)^{c}=(\{1,2,3,4\})^{c}=\{5\}} A c ∩ B c ∩ C c = { 4 , 5 } ∩ { 2 , 4 , 5 } ∩ { 5 } = { 5 } {\displaystyle A^{c}\cap B^{c}\cap C^{c}=\{4,5\}\cap \{2,4,5\}\cap \{5\}=\{5\}}
示例。
P ( { 1 , 2 } ) = { ∅ , { 1 } , { 2 } , { 1 , 2 } } {\displaystyle {\mathcal {P}}(\{1,2\})=\{\varnothing ,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}} P ( ∅ ) = { ∅ } {\displaystyle {\mathcal {P}}(\varnothing )=\{\varnothing \}} 不是
備註。
冪集 n {\displaystyle n} 2 n {\displaystyle 2^{n}}
示例。 令 Ω = { H , T } {\displaystyle \Omega =\{H,T\}} H {\displaystyle H} T {\displaystyle T} P ( Ω ) = { ∅ , { H } , { T } , { H , T } } . {\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega )=\{\varnothing ,\{H\},\{T\},\{H,T\}\}.}
練習。 假設我們擲硬幣兩次。 那麼，這個隨機試驗的樣本空間是 Ω = { H H , H T , T H , T T } {\displaystyle \Omega =\{HH,HT,TH,TT\}} H H {\displaystyle HH} H T {\displaystyle HT} H T {\displaystyle HT} T H {\displaystyle TH}
(a) 求冪集 P ( Ω ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega )} 提示 2 4 = 16 {\displaystyle 2^{4}=16}
(b) 定義集合 S {\displaystyle S} Ω {\displaystyle \Omega } H H {\displaystyle HH} S = { X ⊆ Ω : H H ∈ X } {\displaystyle S=\{X\subseteq \Omega :HH\in X\}} # ( S ) {\displaystyle \#(S)}
解答
(a) 冪集是 P ( Ω ) = { ∅ , { H H } , { H T } , { T H } , { T T } , { H H , H T } , { H H , T H } , { H H , T T } , { H T , T H } , { H T , T T } , { T H , T T } , { H H , H T , T H } , { H H , H T , T T } , { H H , T H , T T } , { H T , T H , T T } , { H H , H T , T H , T T } } {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {P}}(\Omega )={\bigg \{}&\varnothing ,{\color {darkgreen}\{HH\}},\{HT\},\{TH\},\{TT\},\\&{\color {darkgreen}\{HH,HT\},\{HH,TH\},\{HH,TT\}},\{HT,TH\},\{HT,TT\},\{TH,TT\},\\&{\color {darkgreen}\{HH,HT,TH\},\{HH,HT,TT\},\{HH,TH,TT\}},\{HT,TH,TT\},{\color {darkgreen}\{HH,HT,TH,TT\}}{\bigg \}}\end{aligned}}} Ω {\displaystyle \Omega } 綠色 的) 包含結果 H H {\displaystyle HH} # ( S ) = 8 {\displaystyle \#(S)=8}
定義。 ( n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} S 1 , … , S n {\displaystyle S_{1},\dotsc ,S_{n}} n {\displaystyle n} S 1 × ⋯ × S n {\displaystyle S_{1}\times \dotsb \times S_{n}} { ( s 1 , … , s n ) : s i ∈ S i for each i ∈ { 1 , … , n } } . {\displaystyle {\big \{}(s_{1},\dotsc ,s_{n}):s_{i}\in S_{i}{\text{ for each }}i\in \{1,\dotsc ,n\}{\big \}}.}
例子。 令 A = { 1 , 2 } , B = { 2 , 3 } {\displaystyle A=\{1,2\},B=\{2,3\}} C = { 3 , 4 } {\displaystyle C=\{3,4\}}
A × B = { ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 2 ) , ( 2 , 3 ) } {\displaystyle A\times B=\{(1,2),(1,3),(2,2),(2,3)\}} B × C = { ( 2 , 3 ) , ( 2 , 4 ) , ( 3 , 3 ) , ( 3 , 4 ) } {\displaystyle B\times C=\{(2,3),(2,4),(3,3),(3,4)\}} A × B × C = { ( 1 , 2 , 3 ) , ( 1 , 2 , 4 ) , ( 1 , 3 , 3 ) , ( 1 , 3 , 4 ) , ( 2 , 2 , 3 ) , ( 2 , 2 , 4 ) , ( 2 , 3 , 3 ) , ( 2 , 3 , 4 ) } {\displaystyle A\times B\times C=\{(1,2,3),(1,2,4),(1,3,3),(1,3,4),(2,2,3),(2,2,4),(2,3,3),(2,3,4)\}}
練習. 一家餐廳提供套餐午餐，顧客可以從 A、B、C 三組中 各 一樣
A 組：雞蛋、培根
B 組：牛排、三文魚
C 組：茶、牛奶、水 我們定義集合 A , B , C {\displaystyle A,B,C}
A = { egg , beacon } {\displaystyle A=\{{\text{egg}},{\text{beacon}}\}} B = { steak , salmon } {\displaystyle B=\{{\text{steak}},{\text{salmon}}\}} C = { tea , milk , water } {\displaystyle C=\{{\text{tea}},{\text{milk}},{\text{water}}\}} (a) 找出集合 A × B × C {\displaystyle A\times B\times C}
(b) 假設餐廳的茶賣完了，所以顧客現在不能在 C 組選擇茶。假設集合 A × B × C ∗ {\displaystyle A\times B\times C^{*}} C ∗ {\displaystyle C^{*}} A × B × C ∗ {\displaystyle A\times B\times C^{*}}
解答
(a) 集合 A × B × C {\displaystyle A\times B\times C} A × B × C = { ( egg , steak , tea ) , ( egg , steak , milk ) , ( egg , steak , water ) , ( egg , salmon , tea ) , ( egg , salmon , milk ) , ( egg , salmon , water ) , ( beacon , steak , tea ) , ( beacon , steak , milk ) , ( beacon , steak , water ) , ( beacon , salmon , tea ) , ( beacon , salmon , milk ) , ( beacon , salmon , water ) } {\displaystyle {\begin{aligned}A\times B\times C={\bigg \{}&({\text{egg}},{\text{steak}},{\text{tea}}),({\text{egg}},{\text{steak}},{\text{milk}}),({\text{egg}},{\text{steak}},{\text{water}}),\\&({\text{egg}},{\text{salmon}},{\text{tea}}),({\text{egg}},{\text{salmon}},{\text{milk}}),({\text{egg}},{\text{salmon}},{\text{water}}),\\&({\text{beacon}},{\text{steak}},{\text{tea}}),({\text{beacon}},{\text{steak}},{\text{milk}}),({\text{beacon}},{\text{steak}},{\text{water}}),\\&({\text{beacon}},{\text{salmon}},{\text{tea}}),({\text{beacon}},{\text{salmon}},{\text{milk}}),({\text{beacon}},{\text{salmon}},{\text{water}}){\bigg \}}\end{aligned}}} C ∗ {\displaystyle C^{*}} { milk , water } {\displaystyle \{{\text{milk}},{\text{water}}\}} A × B × C ∗ {\displaystyle A\times B\times C^{*}} 2 × 2 × 2 = 8 {\displaystyle 2\times 2\times 2=8}
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\color {Maroon}(}a,b{\color {Maroon})}&{\overset {\text{ def }}{=}}\{x\in \mathbb {R} :a\;{\color {Maroon}<}\;x\;{\color {Maroon}<}\;b\};\\{\color {darkgreen}[}a,b{\color {Maroon})}&{\overset {\text{ def }}{=}}\{x\in \mathbb {R} :a\;{\color {darkgreen}\leq }\;x\;{\color {Maroon}<}\;b\};\\{\color {Maroon}(}a,b{\color {darkgreen}]}&{\overset {\text{ def }}{=}}\{x\in \mathbb {R} :a\;{\color {Maroon}<}\;x\;{\color {darkgreen}\leq }\;b\};\\{\color {darkgreen}[}a,b{\color {darkgreen}]}&{\overset {\text{ def }}{=}}\{x\in \mathbb {R} :a\;{\color {darkgreen}\leq }\;x\;{\color {darkgreen}\leq }\;b\}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d5949b1085a3f1707531e43c232445784f5e6ff)
![{\displaystyle [-\infty ,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e13233867b861889693a36843d98e51d90d38f9f)
![{\displaystyle [-\infty ,\infty ]=(-\infty ,\infty )\cup \{-\infty ,\infty \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/498f006f41d435e018c9bb29ec3bdd8fc3768059)
