機率/計數原理

計數原理

在我們深入研究機率和賠率的性質之前，我們需要理解計數原理。我們使用計數原理來確定有多少種不同的方法可以選擇/做某些事件。透過例子來定義這個原理更容易

獨立事件

假設約翰在一家熟食店三明治店。有 3 種不同的麵包、3 種不同的乳酪、3 種不同的調味品和 3 種不同的蔬菜可以放在他的三明治上，假設他只能從每種類別中選擇一種放在他的三明治上。他可以有多少種不同的方法來製作他的三明治？

由於選擇乳酪不會影響蔬菜、調味品或麵包的選擇數量，所以這些事件被稱為獨立事件。對於這個問題，我們將乘以 $3\times 3\times 3\times 3$ ，所以 $3^{4}$ ，也就是 81。所以有 81 種不同的可能組合來製作這個三明治。

練習題

1) 托馬斯去麥當勞餐廳，選擇自己製作漢堡。他有 2 種不同的乳酪、3 種不同的麵包和 3 種不同的醬汁可供選擇，但他只能從每種類別中選擇一種。他可以有多少種不同的方法來製作這個漢堡？

2) 戴安正在為她的家人訂披薩。披薩有 4 種不同的尺寸可供選擇。此外，她還必須從 5 種配料中選擇一種放在披薩上，以及從 3 種不同型別的乳酪中選擇一種。此外，她必須選擇 3 種不同型別的餅皮中的一種。她可以有多少種不同的方法來製作她的披薩？

3)

a) 從數字 2、3、4、5、7 和 9 中可以形成多少個三位數？

b) 這些數字中，有多少小於 400？

答案

1) $(2)(3)(3)=18$

2) $(4)(5)(3)(3)=180$

3)

a) 由於有六個可用的數字，答案是 $(6)(6)(6)=216$

b) 為了使三位數的值小於 400，我們只有兩種選擇，即 2 或 3。之後我們可以自由地選擇另外兩個數字。所以答案是 $(2)(6)(6)=72$.

依賴事件

假設約翰現在在圖書館工作。他必須以任何順序將 5 本書放在書架上。他可以有多少種不同的方法將書放在書架上？與獨立事件不同，當約翰把一本書放在書架上時，就會從剩餘的書籍選擇中排除一本書，作為下一本書放在書架上的選擇；因此，這些被稱為依賴事件。一開始，他有 5 種不同的選擇，所以乘法問題中的第一個數字將是 5。現在少了一本書，數字減少到 4。接下來，減少到 3，以此類推。所以，問題將是

$(5)(4)(3)(2)(1)$

但是，有一個符號代表這個想法。一個 $!$ 代表術語階乘。所以，例如，$3!=(3)(2)(1)$ 。階乘在統計學和機率論中非常有用。

因此，問題可以改寫為 $5!$ ，最終等於 120。

然而，並非所有依賴事件問題都那麼簡單。假設有一場狗狗比賽，有 10 只狗參加。從這 10 只狗中選出冠軍和亞軍，有多少種不同的方法？這個問題實際上可以比上一個問題更簡單，但它不涉及階乘。那麼，裁判有多少種不同的方法來確定冠軍？當然，有 10 只不同的狗，所以有 10 種不同的方法。接下來，還有多少隻狗可以從裡面選擇亞軍？好吧，你已經選走了一隻，所以只剩下 9 只了。不過，你不會進行階乘運算，你只需要將 10 和 9 相乘，得到 90。

獨立事件還是依賴事件？

為了幫助你區分兩者，我們將做一些更多的例子，但我們必須在解決問題之前決定它是依賴事件還是獨立事件。

假設你正在建立一個 5 位數的車庫門開啟器密碼（數字包括 0-9）。如果沒有任何限制，這些事件是相互獨立的還是相互依賴的？當然，沒有任何限制，因為你可以用五個 4 來組成密碼，所以為了解決這個問題，你需要將 10 自身乘以 5 次，得到 100000。

或者，假設密碼的第一個數字不能是 0，並且不能出現重複的數字。顯然這些事件是相互依賴的，因為不能出現重複。讓我們逐個數字地看一下這個問題。

第一個數字可以是除 0 之外的所有數字，將可能的數字減少到 9 個。這次第二個數字可以是 0，所以可能的數字又回到了 10 個。但是，它不能與前一個數字重複，所以只有 9 種可能的選擇。在此之後，由於不能出現重複，數字將每次減少一個，所以這個問題看起來像這樣

$(9)(9)(8)(7)(6)={\frac {(9)(9!)}{(5!)}}=27216$

現在，再舉一個例子。假設你正在選擇你的學校課程表。每天有 8 節課，你可以選擇 7 門課。但是，你必須在第 4 節課的時候有一節午飯課。我們可以認為第 4 節課不存在，因為它處於一個固定的位置，因此不會影響可能的選擇。有 7 個時間段和 7 個選擇，答案很簡單，就是 $7!$ 。

$(7!)=5040$

計數原理的回顧

因此，我們使用計數原理來確定做某事（例如製作三明治或選擇課程）的不同獨特方法。有時，這些事件會相互影響，例如，當你在車庫門開啟器密碼中不能兩次選擇相同的數字時，它們就是依賴事件。但是，其他時候，一個事件不會影響下一個事件，例如，當你選擇三明治的不同乳酪和麵包時，它們就是獨立事件。計數原理是一個基本的數學概念，也是機率的重要組成部分。

計數規則

規則 1：如果在 $n$ 次試驗中的每一次試驗，都可以發生 $k$ 個相互排斥且窮舉的事件，那麼，由一組這樣的試驗可以產生的不同序列數為 $k^{n}$ 。

• 示例：擲硬幣三次產生的可能序列數為 $k^{n}=2^{3}=8$。

規則 2：如果 $k_{1},\dots ,k_{n}$ 是在一系列試驗中第 $1,\dots ,n$ 次試驗中可以發生的不同的事件數，那麼，可以發生的 $n$ 個事件的不同序列數為 $k_{1}\times \cdots \times k_{n}$ 。

• 示例：拋硬幣和擲六面骰子產生的所有可能序列的數量為 $(k_{1})(k_{2})=(2)(6)=12$.

規則 3： 排列 $n$ 個可區分的物品的不同方式的數量為 $n!=(1)(2)(3)\times \cdots \times (n-1)(n)$，其中 $0!{\overset {\text{def}}{=}}1$。按順序排列稱為排列。排列 $n$ 個物件的總數為 $n!$（符號 $n!$ 稱為 n 階乘）。

• 示例：按順序排列 10 個專案的可能方式的數量為 $10!=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=3,628,800$

規則 4： 從 $n$ 個不同物件中選擇並排列 $k$ 個可區分的物件的方式的數量為：${\frac {n!}{(n-k)!}}$，或者如計算器上顯示的 [nPr]。

• 示例：從 10 個專案中選擇 3 個專案並按順序排列它們的可能方式的數量為 ${\frac {10!}{(10-3)!}}={\frac {10!}{7!}}=720$.

規則 5： 選擇 $k$ 個不同的 $n$ 個可區分物件的組合的總數，與順序無關（即順序不重要），為：${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$，或者如計算器上顯示的 [nCr]。

• 示例：從 10 個專案中選擇 3 個專案，與順序無關的可能方式的數量為 ${\binom {10}{3}}={\frac {10!}{3!(7!)}}={\frac {720}{6}}=120$.