高中化學/物理化學/熱力學1/問題1

閱讀“設定”部分中的段落並回答隨後的問題。這個問題旨在用互動式會話來代替解釋明顯事實的理論部分。

設定

一個水平放置的圓柱體被一個垂直的無質量無摩擦滑動絕熱活塞分成兩部分。左右兩部分分別包含 1 摩爾理想氣體（摩爾比熱為 20 J/mol K），溫度為 300 K，體積為 2.0 L。右側的理想氣體透過與外部介質的熱接觸保持恆溫。而左側的理想氣體則與加熱器接觸，加熱器緩慢地加熱它，使左側膨脹。當加熱器停止供熱時，右側的體積減小到 1.0 L。

現在回答相應的題目。

• 注意 - 在解決問題之前，請確保你理解了問題的全部內容。這個問題是中等難度的。就像物理化學中的大多數問題一樣，它看起來很困難只是因為它的長度。為了理解這個（以及其他所有）問題中的整個場景，請記下必要的資料和你在解決問題時繪製的圖表。這樣做將使你熟悉問題，併為你提供一些腦力訓練。
• 所以在你開始解決之前，畫一個放在其曲面上的圓柱體，將其分成兩部分。分別為每個部分分配氣體引數的值，並注意哪個部分將被加熱，哪個部分將保持恆溫。

問題

問題1

右側 R 部分的氣體正在經歷什麼過程？

由於它保持恆溫，它正在經歷等溫過程。此外，由於體積變化緩慢（準靜態），它是一個可逆過程。因此，它是一個可逆等溫過程。與外部介質的熱接觸意味著 R 部分可以與外部介質交換熱量。這被用來維持 R 部分的恆溫。

問題2

L 部分和 R 部分之間的絕熱活塞有什麼意義？

絕熱活塞確保熱量不會在兩部分之間流動。也就是說，供給 L 部分的熱量僅用於加熱氣體和做 PV 功，而不會傳遞到 R 部分。

問題3

那麼，R 部分的氣體所做的功是多少？

使用等溫過程的表示式/公式 ∫P_extdV = nRTln(Vf/Vi)。所有值都是已知的，n=1，T = 300 K 恆定，Vf = 1.0 L 和 Vi=2.0 L。答案為 -1.73 x 10^3 J。由於根據 IUPAC 慣例，氣體所做的功與 ∫P_extdV 的大小相同，但符號相反，最終答案為 1.73 x 10^3 J。

問題4

R 部分氣體的 ∆E 和 q 分別為 ___J 和 ___J。

好吧，在等溫過程中，∆E 始終為零，因為對於理想氣體，內能僅取決於溫度，而溫度保持恆定。q 可以使用熱力學第一定律來求解，結果為 -1.73 x 10^3 J

問題5

當加熱停止時，活塞靜止不動。這說明了兩個部分中的理想氣體壓力如何？

如果活塞靜止不動，這意味著它處於機械平衡狀態。（你能令人滿意地解釋機械平衡和熱力學平衡之間的區別嗎？參考任何教科書或維基百科，如果你不能解釋，現在記下答案。）這使我們得出結論，作用在其上的淨力為零。

換句話說，R 部分氣體和 L 部分氣體產生的力大小相同，方向相反。將它們的大小相等，P_r x 活塞面積 = P_l x 活塞面積。也就是說，兩個部分中理想氣體的壓力相同！這是一個非常重要的結果，請記住我們是如何得出結論的。

問題6

如果活塞具有有限的質量，圓柱體垂直放置，平衡時壓力會相同嗎？

絕對不會！你可以畫出活塞的自由體圖並進行檢查。下方部分的理想氣體必須平衡來自上方氣體的力，以及向下作用的重力。這意味著，下方氣體的壓力會更高，高出 (活塞質量)g/(活塞面積) 帕斯卡。（說服你自己相信這一點。）

問題7

透過實際積分，求解 L 部分氣體的 ∫P_extdV 的值。

這是一個很好的問題，因為它有助於闡明每個變數的意義。L 部分氣體的 P_ext 就是它膨脹所對抗的壓力。這個壓力是 R 部分氣體的壓力。

∫P_extdV = ∫P_rdV_l

現在我們將 P_r 代入 nRT_r/V_r。

∫P_extdV = ∫P_rdV_l = ∫(nRT_r/V_r)(dV_l) = nRT_r∫(dV_l)/(V_r)

（分子被提出積分符號，因為它是一個常數）

現在是問題的關鍵步驟。我們能用變數 V_l 對變數 V_r 進行積分嗎？絕對不能。所以我們將變數 V_r 代入 [4.0 L - V_l]，並在 2.0L 到 3.0 L 的範圍內進行積分。這是因為，圓柱體的總體積將保持在 2.0 + 2.0 = 4.0 L，如果一個部分的體積增加了一定量，另一個部分的體積就會減少相同量。

（V_r = 4.0L - V_l 的代入類似於求解理想氣體在等溫過程中的 ∫P_extdV 的情況。在那裡，由於我們不能對 V 進行 P 積分，所以我們將它代入 nRT/V）

定積分得出積分值為 (nRT_r)(-1)(ln[{4-3}/{4-2}]) = nRT_rln2 = 1.73 x 10^3 J 大小相同，但符號相反，與 R 部分的 ∫P_extdV 相同。請仔細注意這一點。

問題8

我們代入了 P_ext = P_r = nRT_r/V_r. = nRT_r/(4.0 - V_l)。但我們知道，由於這是一個準靜態過程，活塞始終處於機械平衡狀態，因此兩個部分氣體的壓力始終相同。那麼為什麼我們沒有代入 P_ext = P_r = P_l = nRT/V_l？

我們當然可以這樣做。但回顧一下 Q7。分子 nRT_r 是一個常數，可以提出積分符號。nRT_l 也一樣嗎？不，我們需要將 T_l 代入 V_l 的某個函式，以便繼續進行積分。總而言之，我們所做的都是正確的。

問題9

證明在這個場景下，兩個部分的∫P_extdV的值總是彼此的加性逆。

考慮∫P_extdV_r + ∫P_extdV_l。為了證明我們的觀點，我們將證明這個表示式無論如何都等於零。首先，正如我們上面討論的，一個部分的P_ext是另一部分理想氣體的壓力。現在，在我們這裡，兩者在任何時候都相等（因為過程是準靜態的，在每個階段都保持機械和熱力學平衡。說服自己，這個說法會導致我們的結論）。

此外，我們之前已經證明，一個部分的體積變化是另一個部分的體積變化的加性逆。參見問題 7，順便說一下，這是顯而易見的。所以，

dV_r = -dV_l。

因此，∫P_extdV_r + ∫P_extdV_l = ∫P_extdV_r - ∫P_extdV_r = 0。

問題 10

求L 部分氣體做的功w、其∆E和加熱器提供的熱量。

• w = - ∫P_extdV = -1.73 x 10^3 J
• ∆E = nCv∆T。現在求溫度變化是一個完全不同的任務。但是要利用你從解決表格中獲得的技能。我們知道初始溫度。但是對於最終狀態，我們只知道體積。溫度和壓力是未知的。那麼我們需要兩個方程。第一個是理想氣體方程。第二個顯然是P_l = P_r = nRT_r/V_r。
• 將此P_l的值代入理想氣體方程（不要求數值，這樣只會增加一些計算量）。經過大量簡化（令我們滿意的是），我們得到T_l = 600K。n=1 摩爾，Cv = 20.0 J/K mol，∆T = 300K。這使得答案為1.20 x 10^4 J
• 加熱器提供的熱量不過是L部分的q，需要利用熱力學第一定律求解，結果約等於1.4 x 10^4 J。