高中化學/物理化學/熱力學1/補充習題

問題1

1.00摩爾的氦氣在273.15 K等溫條件下從22.4 L膨脹到44.8 L。膨脹為自由膨脹型別。氣體膨脹所受的外壓為零。換句話說，氣體在真空中膨脹。求此過程的q、w、∆E和∆H的值。假設氣體為理想氣體。

解答

雖然求四個引數的值看起來可能很累，但如果熟練運用我們之前討論過的表格，這可能就會變成一個簡單的機械性任務。由於該過程是等溫過程，所以溫度變化為零。並且由於我們假設氣體為理想氣體，因此∆E和∆H都為零。這是因為對於理想氣體，這兩個引數僅取決於溫度。其次，由於氣體在零壓力下膨脹，所以它沒有受到任何阻力。因此，氣體沒有做功或被做功。如果這聽起來難以置信，可以考慮∫P_extdV。由於外壓是恆定的，所以我們可以將其從積分中提出，並且由於外壓為零，所以整個項本身就為零。

因此，w的值也為零。

根據熱力學第一定律，Q，即過程中的熱交換也必須為0。您是否注意到，只要我們將氣體視為理想氣體，氣體的種類或其氣體引數是什麼並不重要？在問題中，我們提到了關於氣體的各種資料，但在解答中沒有用到這些資料。

概要

• P=0，所以∫P_extdV = 0
• 利用熱力學第一定律，我們也證明了q = 0。

總結

將整個討論總結為：“理想氣體的等溫自由膨脹也是絕熱的”。

反之是否成立？理想氣體的絕熱自由膨脹是否也是等溫的？從能量守恆的角度思考。如果這個想法不太明顯，可以使用熱力學第一定律的表示式。

問題2

2摩爾單原子理想氣體在300 K時佔據30 L的體積。氣體在550 mm Hg的恆定外壓下絕熱膨脹到50 L。求氣體所做的功和氣體的最終溫度。請記住，氣體的最終壓力不一定等於其膨脹所受的外壓。

一點建議

在解決物理化學問題時，有些問題看起來很熟悉，有些則不熟悉。為了確保在考試中看起來很熟悉，應該能夠將給定的資料和場景分解成之前處理過的片段。

基於此，我們意識到我們已經解決了一些涉及不可逆膨脹的問題。它們與這個問題唯一的區別在於，在後者中，我們不知道氣體的最終壓力。不是嗎？這導致了什麼？一個簡單的想法是，我們還有一個未知數，找到它需要額外的資訊。確實，將此問題與表格中的先前問題進行比較，您會意識到我們這裡有更多資料。

解答

我們開始吧。當我們在IUPAC領域時，氣體所做的功只不過是-∫P_extdV。

現在我們計算積分。由於壓力是恆定的，所以我們可以將其從積分符號中提出，剩下的積分等於∆V。我們知道氣體體積的變化，也知道其膨脹所受的外壓。因此，氣體所做的功為P∆V = (550/760 atm) x (20 L) atm-升 = (550x101000/760) x (20/1000) J =. 1462 J。（檢查您的水平——您是否熟悉單位換算？）。然後w等於-1462 J。

此外，由於這是一個絕熱過程，所以∫P_extdV = - ∆E = w。這是我們執行的第二步。（你能用能量守恆來解釋一下嗎？由於提供的熱量為零，所以氣體所做的任何功都是以其內能為代價的。）將內能變化等於nCv∆T，您就可以找到溫度變化。摩爾數為2，Cv為1.5R（單原子理想氣體）。這足以求出最終溫度。您可能犯的錯誤是使用550/760 atm作為最終壓力，利用理想氣體方程求最終溫度。

最終答案為-1462J和242.4K。

概要

• 將∫P_extdV計算為P∆V並求出一個答案，w
• 將∫P_extdV等於–nCv∆T（w = nCv∆T）並求出T_f

總結

通常情況下，在不可逆過程中，假設最終壓力不等於系統膨脹所受的外壓，除非另有說明。這將有助於大多數問題。由於這些問題在概念上很容易理解，但仍然可能出錯，因此它們是AIEEE或甚至JEE等考試中的決定性問題。

問題3

1摩爾單原子理想氣體在273 K時佔據11.2 L的體積。氣體在1 atm的恆定外壓下等溫膨脹22.4 L。求氣體所做的功。氣體的最終壓力不一定等於其膨脹所受的外壓。

解答

這基本上與上述問題相同。可能有一些表面上的差異，但僅此而已。我們知道，所做的功只不過是-∫P_extdV = -P∆V = -[1 atm x 22.4 L atm-升] = -(101000 x 22.4 x 10^-3) 焦耳 = -2262.4 J。當然，可以使用理想氣體方程求出最終壓力，最終溫度為273 K（這是一個等溫過程）。

概要

• 計算P∆V，並給出答案。

說明

人們可能犯的一個錯誤是，氣體膨脹了22.4 L，而不是最終體積為22.4 L。換句話說，資料是∆V = 22.4 L。應該避免這種錯誤，因為在大多數有競爭力的客觀考試中，也會出現由這種錯誤導致的選項。陷入那個選項意味著你錯過了獲得簡單分數的機會，同時還失去了一個不嘗試該問題的人不會失去的分數。這最終會導致排名下降。

問題 4

n 摩爾的理想氣體，摩爾定容熱容為Cv，從初始狀態T₁/ V₁透過可逆絕熱過程到達最終體積V₂。證明∫P_extdV的值為

$nCvT_{1}\left[1-\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{\frac {R}{Cv}}\right]$

初步思考

對於許多學生來說，這個問題可能過於晦澀，不會產生任何解決它的慾望。其他人可能認為它很熟悉，但僅僅因為未知的恐懼而不會嘗試解決這個問題。放鬆一下。∫P_extdV的值不過就是–nCv∆T = nCv(T₁ - T₂)。

我們的方法是替換遇到的每一個未知數，希望如果我們不犯任何錯誤，就不會出問題。

解答

寫下所需數量nCv(T₁ - T₂)，並逐步進行操作。首先將T₁從括號中提出，因為這正是我們應該生成的項。

現在，我們剩下的是nCvT₁旁邊的括號項。正如我們之前提到的，如果我們不犯任何錯誤，我們就能順利解決問題。這意味著問題中看起來複雜的括號簡化為1 - (T₂)/(T₁)。但是如何簡化呢？我們之前在處理可逆絕熱過程時多次做過類似的運算：理想氣體在絕熱過程中的任意階段，溫度和體積之間的關係，這給了我們(T₂)/(T₁) = [(V₁)/(V₂)]^(y-1)，其中y代表氣體的絕熱指數。

（你記得這個嗎？PV^y = 常數，並且PV = nRT。透過從這兩個方程中消除壓力，我們得到關係TV^{y-1) = 常數，當應用於初始狀態和最終狀態時，得到(T₂)/(T₁) = [(V₁)/(V₂)]^(y-1)。如果你不知道這一點，請參考表格。）

但是，最終項中沒有出現絕熱指數。那麼呢？顯然，消除它。我們知道摩爾熱容，也可以給出普適氣體常數。Y-1不過就是(Cp/Cv) -1，它簡化為R/Cv，這正是我們需要的。

總結

• 使用(T₂)/(T₁) = [(V₁)/(V₂)]^(y-1) 消除T₂
• 使用y = Cp/Cv 消除絕熱指數y本身。

總結

不要被任何問題的複雜性所迷惑，試著讓它看起來簡單。