數學問題/待新增

2 練習 假設 $f$ 是無限可微的。此外，假設對於每個 $x$，都存在 $n$ 使得 $f^{(n)}(x)=0$。那麼 $f$ 是一個多項式。（提示：貝爾的範疇定理。）

練習 $e$ 和 $\pi$ 是無理數。此外，$e$ 既不是代數數，也不是 p-adic 數，但 $e^{p}$ 對所有除 2 以外的 p 都是 p-adic 數。

練習 存在 $\mathbf {R}$ 的一個非空完美子集，其中不包含任何有理數。（提示：使用 e 是無理數的證明。）

練習 構造一個正數序列 $a_{n}$，使得 $\sum _{n\geq 1}a_{n}$ 收斂，但 $\lim _{n\to \infty }{a_{n+1} \over a_{n}}$ 不存在。

練習 設 $a_{n}$ 是一個正數序列。如果 $\lim _{n\to \infty }n\left({a_{n} \over a_{n+1}}-1\right)>1$，那麼 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ 收斂。

練習 證明一個凸函式是連續的 (回顧一下，一個函式 $f:(a,b)\rightarrow \mathbb {R}$ 是一個 凸函式 如果對於所有 $x,y\in (a,b)$ 和所有 $s,t\in [0,1]$ 滿足 $s+t=1$，$f(sx+ty)\leq sf(x)+tf(y)$)

練習 證明每一個將 [0,1] 對映到自身的連續函式 f 至少有一個不動點，即 $\exists p\in [0,1]$ 使得 $f(p)=p$
證明：令 $g(x)=x-f(x)$。然後

練習 證明在一個區間上的連續函式空間具有 $\mathbb {R}$ 的基數

練習 令 $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ 是一個單調函式，即 $\forall x,y\in [a,b];x\leq y\Rightarrow f(x)\leq f(y)$。證明 $f$ 有可數個間斷點。

練習 假設 $f$ 定義在正實數集上，並具有以下性質：$f(xy)=f(x)+f(y)$。那麼 $f$ 是唯一的，是一個對數函式。