脈衝星和中子星/脈衝星計時方法概述

介紹

脈衝星是規則的轉子，遵循簡單的減速模型，這一假設構成了脈衝星研究中廣泛應用的強大技術的基石。該技術被稱為脈衝星計時技術。脈衝星計時方法依賴於脈衝星的初始物理模型和一組脈衝到達時間。

根據模型的複雜程度和可獲得的觀測資料的數量（和質量），脈衝星計時可以提供有關許多脈衝星性質的資訊。對於已經觀測了幾年的脈衝星，通常可以計算其

週期：通常在脈衝星發現期間獲得週期的估計值。但是，脈衝星計時方法提供了週期測定，具有極高的精度。

週期導數：這通常在觀測幾天後確定，儘管對於一些毫秒脈衝星來說，週期導數只有在幾個月後才能測量。

位置：至少需要一年的資料才能獲得準確的位置測定。位置自然是在黃道座標中測量的，但通常使用赤道座標。

色散量：如果有多個頻率觀測可用，則脈衝星計時方法可以提供脈衝星色散量（以及在許多情況下，其隨時間變化）的測定。

軌道運動引數：通常可以確定雙星系統中脈衝星的開普勒引數集（軌道週期、近日點曆元、偏心率、近日點經度和軌道的投影半長軸）。

如果有足夠的資料，也可以確定後開普勒（相對論）雙星引數、脈衝星的視差和自行運動。

各種軟體包（如下所述）已實現了脈衝星計時方法。這些軟體包需要一組“脈衝到達時間”和每個要處理的脈衝星的初始“計時模型”。脈衝到達時間通常被稱為“到達時間”（ToAs）或“站點到達時間”（SATs），通常在一個“到達時間檔案”中給出，傳統上副檔名為“.tim”。計時模型有時被稱為“計時星曆”、“脈衝星模型”或“脈衝星引數”，通常在一個副檔名為“.par”的檔案中給出。

測量脈衝星到達時間

摺疊的脈衝觀測有一個已知的開始時間。脈衝到達時間通常透過將脈衝形狀的已知模板與實際觀測進行互相關來確定實際到達時間。這種互相關通常在傅立葉域中進行。泰勒（1990）論文提供了基本概述，但現在很難獲得。在這裡，我們重新描述他的工作。

我們假設輪廓已被分成N個箱，並由 $p_{j}$ 定義。標準模板是相同的 $s_{j}$ 。輪廓和模板的離散傅立葉變換可以寫成

$P_{k}e^{i\theta _{k}}=\sum _{j=0}^{N-1}p_{j}e^{i2\pi jk/N}$

$S_{k}e^{i\phi _{k}}=\sum _{j=0}^{N-1}s_{j}e^{i2\pi jk/N}$

模板和輪廓由一個未知的相位偏移、一個比例因子和噪聲相關聯

$P_{k}e^{i\theta _{k}}=aN+bS_{k}e^{i(\phi _{k}+k\tau )}+G_{k}$

當模板和輪廓之間的差異最小化時，獲得最佳匹配，因此我們希望最小化

$\chi ^{2}(b,\tau )=\sum _{k=1}^{N/2}\left[{\frac {P_{k}-bS_{k}e^{i(\phi _{k}-\theta _{k}+k\tau )}}{\sigma _{k}}}\right]^{2}$

這些可以透過分析計算得到。

${\frac {\delta \chi ^{2}}{\delta b}}={\frac {2b}{\sigma ^{2}}}\sum S_{k}^{2}-{\frac {2}{\sigma ^{2}}}\sum P_{k}S_{k}\cos(\phi _{k}-\theta _{k}+k\tau )=0$

${\frac {\delta \chi ^{2}}{\delta b}}={\frac {2b}{\sigma ^{2}}}\sum kP_{k}S_{k}\sin(\phi _{k}-\theta _{k}+k\tau )=0$

這些方程允許程式確定 $\tau$ ，然後確定 $b$ 。當然，確定脈衝到達時間的誤差也很重要。可以使用以下公式估計誤差:

$\sigma _{b}^{2}=\left({\frac {\delta ^{2}\chi ^{2}}{\delta b^{2}}}\right)^{-1}={\frac {\sigma ^{2}}{2\sum S_{k}^{2}}}$

$\sigma _{\tau }^{2}=\left({\frac {\delta ^{2}\chi ^{2}}{\delta \tau ^{2}}}\right)^{-1}={\frac {\sigma ^{2}}{2b\sum k^{2}P_{k}S_{k}\cos(\phi _{k}-\theta _{k}+k\tau )}}$

這些演算法已經被更新，可以在時域中確定到達時間（而不是上面顯示的頻域），並且正在開發新的演算法來測量寬頻上的脈衝到達時間。

對於tempo或tempo2軟體包，脈衝到達時間在類似於以下內容的檔案中呈現（請注意，軟體包之間格式略有不同）。

FORMAT 1
t110120_155047.czFTp 3094.50000000 55581.68263874327820062 2.33600 PKS
s110120_155046.czFTp 732.27500000 55581.68276815691150006 2.64800 PKS

每個觀測結果都在檔案中的單行上表示。第一列給出觀測結果的識別符號（通常是檔名）。第二列提供觀測頻率（以MHz為單位），第三列給出實際脈衝到達時間（以MJD為單位），第四列提供到達時間測量的誤差（以微秒為單位）。最後一列指示用於觀測的望遠鏡。

獲取初始計時模型

當發現一顆脈衝星時，通常會知道以下引數：

位置 (RAJ, DECJ)
週期 (P0) 或頻率 (F0)
色散量 (DM)
脈衝星是否處於快速雙星系統中

引數檔案包含以下必需引數：

PSRJ <pulsar name>
RAJ <right ascension hh:mm:ss.ss>
DECJ <declination dd:mm:ss.ss>
P0 <pulse period in seconds> or F0 <pulse frequency in Hz>
PEPOCH <MJD epoch of period determination>
DM <dispersion measure (cm^-3 pc)>

隨著更多引數的測量，可以將其包含在引數檔案中。對於已知脈衝星，可以透過在“脈衝星名稱”框中輸入脈衝星名稱，然後選擇“獲取星曆”，從 ATNF 脈衝星目錄獲取初始計時模型。例如，PSR J1939+2134 的當前星曆是：

PSRJ            J1939+2134
RAJ             19:39:38.561297          2.000e-06
DECJ            +21:34:59.12950          4.000e-05
DM              71.0227                  9.000e-04
PEPOCH          52601
F0              641.928233642            1.200e-08
F1              -42.91E-15               6.000e-17
PMRA            0.072                    2.000e-03
PMDEC           -0.415                   3.000e-03
RM              +6.7                     6.000e-01
PX              0.13                     1.300e-01
EPHVER          2
UNITS           TDB

第三列中的值表示引數的誤差。但是，目前現有的脈衝星計時軟體包並未考慮這些誤差。請注意，脈衝星目錄是“最佳”可用脈衝星引數的目錄。在少數情況下，這些引數並不構成最佳計時模型，但通常可以利用該目錄獲得足以用於初始處理的模型。

計算地心到達時間

脈衝到達時間是在（通常）地球表面的天文臺測量的。當然，地球在自轉並繞太陽執行。因此，必須將測量的脈衝到達時間轉換為如果天文臺位於太陽系質心（稱為太陽系地心或SSB）處所測量的到達時間。將臺址到達時間修改為表示位於地心的天文臺的到達時間後，這些到達時間被稱為地心到達時間 (BAT)。

在本節中，我們以從帕克斯天文臺觀測 PSR J1744+1134 為例。到達時間檔案包含以下內容：

s110205_233319.zCFTp 1367.89400000 55598.00404304428645119 0.07600 PKS

因此，測量的脈衝到達時間為 55598.00404304428645119。我們將使用此時間來演示脈衝星計時方法中的過程。

轉換為地球時間

測量的到達時間是使用天文臺的時間標準確定的。沒有一個時間標準是完美的，因此有必要將測量的時間轉換為地球時間（TT）的實現。無法直接從天文臺時鐘轉換為地球時間。相反，需要應用一系列時鐘校正。在某些情況下，可能存在多種不同的方法來實現地球時間。例如，帕克斯時鐘首先被轉換為全球定位系統（GPS），然後轉換為UTC，最後轉換為國際原子時（TAI）實現的地球時間。在tempo/tempo2軟體包中，這些時鐘校正需要手動更新，並以ASCII檔案的形式提供，其中包含給定時間兩個時間標準之間的差異。圖中給出了一個例子，其中顯示了帕克斯天文臺和GPS之間的校正（以秒為單位）。

pks2gps.clk檔案告訴我們，以下時鐘校正跨越了我們請求的到達時間

55597.16493 -0.000000967864
55598.16840 -0.000000963384

第一列是時鐘校正測量的儒略日（MJD），第二列是時鐘校正的值（以秒為單位）。我們通常使用簡單的線性插值來確定實際測量的到達時間的時鐘校正。在本例中，我們有

$\Delta T_{\rm {pks2gps}}=-9.6412\times 10^{-7}s$

並使用類似的過程

$\Delta T_{\rm {gps2utc}}=-4.49\times 10^{-9}s$
$\Delta T_{\rm {utc2tai}}=34s$
$\Delta T_{\rm {tai2tt}}=32.184s$

(注意，自儒略日41317以來， $\Delta T_{\rm {utc2tai}}$ 僅僅代表閏秒的數量。)

例如，將測量的到達時間轉換為TT(TAI)所需的總時間校正因此是上述值的總和

$\Delta T_{\rm {clk}}=\Delta T_{\rm {pks2gps}}+\Delta T_{\rm {gps2utc}}+\Delta T_{\rm {utc2tai}}+\Delta T_{\rm {tai2tt}}=66.18399903139s$

轉換為質心時間

現在有必要確定將時鐘校正後的到達時間轉換為質心到達時間所需的額外延遲。

羅默延遲

最明顯的延遲僅僅是脈衝在天文臺被探測到後到達太陽系質心（SSB）的額外傳播時間。這需要了解天文臺相對於地球中心的方位以及地球相對於SSB的方位。還需要知道脈衝星的方位。

確定望遠鏡的方位

確定地球相對於SSB的方位

地球相對於SSB的方位是使用行星曆錶確定的。當前的歷表在第XX節中描述。對於本例，我們將使用噴氣推進實驗室（JPL）DE421歷表。

轉換為質心時間和愛因斯坦延遲

夏皮羅延遲

Shapiro 延遲， $\Delta S_{i}$ ，代表太陽系中第 i 個天體的 Shapiro 延遲。這裡我們需要包括太陽（因為它對延遲的影響最大），以及主要的行星。Shapiro 延遲修正了由於天體質量導致的時空彎曲（Shapiro 1964）。

$\Delta S_{i}=-2{\frac {GM_{i}}{c^{3}}}\ln \left[R(1+\cos \theta \right]$

其中 $G$ 是萬有引力常數， $M_{i}$ 是第 i 個天體的質量， $R$ 是觀測站和天體之間的距離， $\theta$ 是脈衝星-觀測站-天體之間的角度。**請檢查此公式**。

所有天體的總 Shapiro 延遲是各個延遲的簡單疊加。

$\Delta T_{\rm {shapiro}}=\sum _{i}\Delta S_{i}$

請提供 Shapiro 延遲大小的表格。

色散延遲

大氣延遲

長期運動

轉換為脈衝星發射時間

計算預擬合脈衝星計時殘差

得到的脈衝星發射時間和給定的脈衝星計時模型用於形成計時殘差， $R_{i}$

$R_{i}={\frac {\phi _{i}-N_{i}}{\nu }}$

其中 $\phi _{i}$ 描述了脈衝相位的時變，基於模型脈衝頻率 ( $\nu$ ) 及其導數（以及故障引數）。 $N_{i}$ 是最接近於 $\phi _{i}$ 的整數。

理解計時殘差

改進計時模型

與模型引數偏移對應的項被擬合到殘差中，以改進引數的測量。

傳統方法

最小二乘擬合

貝葉斯方法

研究擬合後計時殘差

統計上偏離零的脈衝星計時殘差是由以下原因造成的：1) 計時模型中的引數不正確，2) 計時模型不充分，3) 計時軟體包中的錯誤，或 4) 未建模或建模不準確的物理現象影響脈衝到達時間。相反，如果計時殘差與零一致，則軟體在計時殘差的不確定性範圍內準確地考慮了所有物理影響。現在有可能產生計時殘差，其均方根計時殘差在十年或更長時間內約為 100 納秒。

脈衝星計時殘差使用各種統計檢驗進行分析

資料集合有多好？

脈衝星計時殘差資料集“質量”最常見的衡量標準是均方根 (rms) 殘差。由於 ToA 不確定性變化很大，因此通常會顯示加權 rms 值。

應該提到 chisq

脈衝星計時軟體

以下軟體包用於脈衝星計時

PSRTIME (Jodrell Bank)
TIMAPR (Bonn)
ANTIOPE (Nancay)
CPHAS (Hartebeesthoek)
TEMPO
TEMPO2
PINT