脈衝星和中子星/尋找引力波

簡介

愛因斯坦的廣義相對論預測了引力波 (GW) 的存在 - 空間和時間結構中的漣漪。這種波確實存在 - 透過觀測雙脈衝星 PSR B1913+16 (Hulse & Taylor 1975) 得到了證實，但大多數天文學家將其視為 GW 的“間接探測”。使用棒狀探測器、航天器跟蹤、地面干涉儀以及現在如本文所述的脈衝星，科學家一直在嘗試對 GW 進行“直接探測”。

GW 由振幅、頻率（或波長）和偏振態來描述。與電磁波不同，GW 的偏振方向為 45 度（參見右側的動畫）。根據廣義相對論，GW 以光速傳播。

引力波 Plus 偏振

引力波 Cross 偏振

在 1970 年代後期，人們意識到可以使用脈衝星計時觀測來尋找超低頻 ($f\sim 10^{-9}\rightarrow 10^{-7}{\rm {Hz}}$) GW。數學形式是由 Sazhin (1979) 和 Detweiler (1979) 提出的，他們表明 (Detweiler 1979)

a gravitational wave incident upon either a pulsar or the Earth changes the measured frequency and appears then as a anomalous residual in the pulse arrival time

誘導計時殘差的強度將在下面詳細介紹。然而，誘導計時殘差很小。只有最近使用世界上最大的射電望遠鏡進行的高精度計時實驗，脈衝星天文學家才接近探測到這種波。脈衝星計時最有可能探測到的 GW 源是合併星系中心的超大質量雙黑洞。GW 也可能來自宇宙的暴脹時期或宇宙弦。

對單個脈衝星的觀測可用於限制 GW 訊號的振幅，但由於脈衝星計時殘差已經表現出無法解釋的特徵（例如“計時噪聲”），因此無法根據單個脈衝星的計時殘差明確識別 GW 訊號。 Foster & Backer (1990) 提出了“脈衝星計時陣列”的概念，其中對大量毫秒脈衝星進行計時，並在所有資料集中尋找 GW 證據來進行 GW 搜尋。目前，幾乎所有主要的脈衝星天文臺都進行著脈衝星計時陣列研究。資料作為國際脈衝星計時陣列 (IPTA) 的一部分共享和處理，但迄今為止，尚未發現 GW。

引力波如何導致脈衝星計時殘差

GW 將導致觀測到的脈衝頻率發生偏移，$\delta \nu$，為

${\frac {\delta \nu }{\nu }}=-H^{ij}\left[h_{ij}(t_{e},x_{e}^{i})-h_{ij}(t_{e}-D/c,x_{p}^{i})\right]$

其中 $H^{ij}$ 是一個幾何項，它取決於引力波源、地球和脈衝星的位置，$h_{ij}(t,x)$ 是在時間 $t$ 和位置 $x$ 處計算的引力波應變。在地球上當前時間計算的應變被稱為“地球項”。在脈衝星發出脈衝時計算的應變被稱為“脈衝星項”。顯然，對於多個脈衝星，地球項將是相同的，但幾何因子和脈衝星項將不同。幾何因子在 Hobbs 等人 (2010) 和 Lee 等人 (2011) 中給出。

給定脈衝星的感應計時殘差為

$R(t)=-\int _{0}^{t}{\frac {\delta \nu }{\nu }}dt$

Hellings-and-Downs 曲線顯示了感應計時殘差之間作為脈衝星對之間角度函式的相關性。

假設廣義相對論，我們可以用兩種偏振態描述引力波，並將地球項寫成

$R_{\rm {Earth}}(t)=\int _{0}^{t}{\frac {P_{+}A_{+}(t)+P_{\times }A_{\times }(t)}{2(1-\gamma )}}dt$

其中 $\gamma$ 是引力波-地球-脈衝星角度。對於非演化的引力波源，$A_{+,\times }$ 項由下式給出

$A_{+,\times }=A_{+,\times }e^{i\omega _{g}t}$.

脈衝星項與地球項相同，除了有一個額外的相位。

可能存在許多引力波的背景。因此，我們可以對上述方程進行求和，以覆蓋多個單獨的引力波源。脈衝星項仍然是不相關的，但對於各向同性、隨機、非極化的背景，地球項將導致明確的角相關性。這首先由 Hellings & Downs (1983) 推匯出來，通常被稱為“Hellings and Downs 曲線”。它由下式給出

$c(\theta )={\frac {3}{2}}x\ln x-{\frac {x}{4}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\delta (x)$

其中 $x=[1-\cos \theta ]/2$ 是兩個脈衝星之間天空中角度 $\theta$。這在圖中用圖形方式顯示。

脈衝星計時陣列實驗目前正在尋找單個引力波源或引力波背景的訊號。

更多術語

用於描述引力波和引力波探測器靈敏度的術語令人困惑。下表提供了一些常用術語

符號	術語	同義詞	描述	關係
$h$	均方根應變幅度	$h_{s}$，有效應變幅度	以方向（或等效地，天空位置）為平均值並對極化求和的源的均方根應變幅度
$h_{c}$	特徵應變	無量綱應變，應變	每個對數頻率的預期應變幅度
$S_{h}$	應變譜密度		對於隨機的、各向同性的非極化引力波背景，譜密度足以描述地球上的應變張量	$h_{c}(f)={\sqrt {fS_{h}(f)}}$
$h_{n}$	特徵噪聲應變		對應於探測器靈敏度的特徵應變
$S_{n}$	應變等效噪聲譜密度	應變噪聲幅度譜密度，等效應變均方根PSD	各種探測器的靈敏度由其噪聲的功率譜密度定義	$h_{n}(f)={\sqrt {fS_{h}(f)}}$
$A$	引力波背景幅度		由冪律描述的背景的特徵應變可以透過幅度定義，$A$ 和譜指數 $alpha$	$h_{c}(f)=A\left({\frac {f}{f_{\rm {1yr}}}}\right)^{\alpha }$
$\Omega _{GW}$			引力波中每個對數頻率間隔的能量密度分數	$\Omega _{g}(f)={\frac {2\pi ^{2}}{3H_{0}^{2}}}f^{3}S_{h}(f)$
$h_{rss}$	每個根赫茲的應變	應變等效噪聲，每個根赫茲的根譜密度，均方根應變，應變靈敏度	應變譜密度或應變等效噪聲譜密度的平方根，具體取決於上下文	$h_{rss}={\sqrt {S_{h}}}$, $h_{rss}={\sqrt {S_{n}}}$

單一來源

彼得斯 (1964) 分析了兩個點質量的 GW 發射，並提供了由 GW 引起的軌道衰減和任何給定系統的壽命的方程。GW 將以軌道頻率的兩倍發射。對於一個具有分量質量的螺旋式圓形雙星系統，$m_{1}$ 和 $m_{2}$，GW 應變幅度由下式給出

$h_{0}=2{\frac {(GM_{c})^{5/3}}{c^{4}}}{\frac {(\pi f)^{2/3}}{d_{L}}}$

其中 $d_{L}$ 是源的亮度距離，而 $M_{c}$ 是啁啾質量。

$M_{c}={\frac {(m_{1}m_{2})^{3/5}}{(m_{1}+m_{2})^{1/5}}}$

可以透過 Jenet 等人 (2009) 的研究結果來估計由雙星系統引起的計時殘差。

$t\sim 10{\rm {ns}}\left({\frac {1{\rm {Gpc}}}{d}}\right)\left({\frac {M}{10^{9}{\rm {M}}_{\odot }}}\right)^{5/3}\left({\frac {10^{-7}{\rm {Hz}}}{f}}\right)^{1/3}$

其中 $d$ 是到該系統的距離，該系統總質量為 $M/(1+z)$，並以頻率 $f$ 發射引力波。

對於以 0.01pc 的分離距離以圓形軌道執行的黑洞，其合併時間將取決於黑洞的質量。如果兩個黑洞的質量都為 $10^{10}{\rm {M}}_{\odot }$，那麼合併的時間尺度只有大約 3 年。對於這樣的系統，在地球上探測到的引力波頻率將在典型資料跨度內發生顯著變化。對於質量為 $\sim 10^{9}{\rm {M}}_{\odot }$ 的黑洞，時間尺度約為 3000 年。在觀測跨度內，在地球上觀測到的引力波頻率不會發生顯著變化，但脈衝星和地球處的訊號將具有不同的頻率。對於質量為 $10^{8}{\rm {M}}_{\odot }$ 的黑洞，合併時間尺度為 $>10^{6}{\rm {yr}}$，在資料跨度內或在光線傳播到脈衝星的時間內不會觀察到任何演化。

3C66B

Sudou 等人 (2003) 提出在射電星系 3C 66B 中存在超大質量黑洞雙星系統的證據。他們提供了該系統總質量 ($M=5\times 10^{10}{\rm {M}}_{\odot }$)、軌道週期 (~1 年) 和距離 (~85 Mpc) 的估計值。Jenet 等人 (2004) 指出，這樣的系統會發射引力波，這些引力波很容易在現有脈衝星的計時殘差中探測到（他們考慮了 PSR B1857+09）。由於沒有觀察到誘導的計時殘差，因此 Sudou 等人提出的系統被高置信度排除。這可以說是第一個基於引力波天文學的主要天體物理學結果。

引力波單個源的通用搜索

Lommen & Backer (2001) 曾嘗試尋找人馬座 A* 的引力波輻射，該天體被認為是一個雙星系統，但沒有成功。 他們還進行了首次對其他附近星系的引力波搜尋。 Yardley 等人 (2010) 利用帕克斯望遠鏡的資料計算了這些單個引力波源的靈敏度曲線（作為引力波頻率的函式）。 Zhu 等人 (2014) 利用更長的帕克斯資料更新了這項工作，並獲得了引力波應變振幅的上限

$h_{0}<1.7\times 10^{-14}$ 在 10 納赫茲。

此上限對超大質量雙黑洞的區域性合併率密度提出了約束。

PPTA 資料釋出 1 資料對單色引力波的靈敏度，以及一些已公佈的超大質量黑洞雙星候選體的預期引力波應變振幅。 黑線代表全天靈敏度，紅線代表最靈敏的天區方向。

爆發

可能探測到的爆發性引力波輻射源包括：1）超大質量黑洞的形成，2）高偏心率的超大質量黑洞雙星，3）大質量天體的近距離相遇，以及 4）宇宙弦尖點。

具有記憶的爆發

Seto (2009)，van Haasteren & Levin (2010)，Pshirkov, Baskaran & Postnov (2010)，以及 Pollney & Reisswig (2011) 已經考慮了具有“記憶”的引力波爆發。 這些事件會導致時空度量產生永久性扭曲。 它們可能由超大質量雙黑洞合併引起。 引力波記憶事件會導致所有脈衝星的脈衝頻率發生階躍變化。 對於單個脈衝星來說，計時殘差將具有類似於故障事件的形式（但符號相反），且不會衰減。 因此，使用脈衝星計時陣列，可以透過搜尋陣列中所有脈衝星計時同時發生的故障事件來搜尋經過地球的引力波記憶事件。（還可以透過限制單個數據集中的故障事件的大小來限制此類事件的存在；這限制了地球和脈衝星處的引力波記憶事件）。

引力波記憶訊號可以建模為階躍函式

$h_{+}(t)=h^{\rm {mem}}\Theta (t-t_{0}),h_{x}(t)=0$

其中 $t_{0}$ 是引力波記憶訊號到達地球觀測者的時刻（在 Favata 2009 中討論了整個訊號都在加極化狀態下的選擇）。 函式 $\Theta (t)$ 是亥維賽德階躍函式。

Cordes & Jenet (2012) 提供了一種簡單的方法來獲得訊號強度的數量級估計

$h^{\rm {mem}}\sim 5\times 10^{-16}(\mu /10^{8}{\rm {M}}_{\odot })(1{\rm {{Gpc}/D)}}$

其中 $D$ 是到雙黑洞系統的距離，而 $\mu$ 是它的約化質量。

Arzoumanian 等人 (2015) 和 Wang 等人 (2015) 已經進行了對具有記憶的爆發的搜尋，並由 Madison 等人 (2014) 討論。 Wang 等人 (2015) 使用帕克斯觀測來搜尋（和限制）經過地球的引力波記憶事件。 沒有探測到任何訊號，但正如論文中所示，這並不意外。 他們的論文得出的結論是，在不久的將來不太可能探測到引力波記憶事件。 但是，預測並不確定，因此有必要繼續尋找 - 以防萬一！

引力波背景

定義

引力波的隨機背景可能是宇宙學起源的（例如，來自暴脹、宇宙弦或相變），也可能是天體物理起源的（例如，由合併星系中導致的合併大質量黑洞雙星系統引起）。

引力波背景最簡單的定義是根據其能量密度與對數頻率的比值。

$E_{\rm {GW}}={\frac {d\rho _{\rm {GW}}}{d\log f}}=f{\frac {d\rho _{\rm {GW}}}{df}},$

作為宇宙臨界能量密度的分數。

$\rho _{c}=3H_{0}^{2}c^{2}/(8\pi G).$

這裡，$G$ 是牛頓萬有引力常數，$f$ 是在地球上接收到的引力波頻率，$H_{0}=h\times (100)$km s$^{-1}{\rm {Mpc}}^{-1}$ 是哈勃常數。這個“小$h$”有時寫成$h_{\rm {100}}$ 或者 $h_{0}$。引力波能量密度的分數，$\Omega _{\rm {GW}}$，那麼是

$\Omega _{\rm {GW}}={\frac {8\pi G}{3H_{0}^{2}c^{2}}}{\frac {d\rho _{\rm {GW}}}{d\log f}}.$

由於 PTA 測量有效地約束了 $E_{\rm {GW}}$ 而不是 $\Omega _{\rm {GW}}$，因此對 $\Omega _{\rm {GW}}$ 的約束可以寫成 $\Omega _{\rm {GW}}h^{2}$ 的形式，它與 $H_{0}$ 的確切（不確定）值無關。

引力波背景的另一個有用定義是特徵應變幅度，它是對數頻率區間內的平均值

$h_{c}(f)={\sqrt {fS_{h}(f)}}.$

通常定義

$h_{c}(f)=A\left({\frac {f}{f_{1{\rm {yr}}}}}\right)^{\alpha }$

其中 $f_{1{\rm {yr}}}=1/(1{\rm {yr}})$。對於可能由合併黑洞雙星、宇宙弦和遺蹟引力波引起的引力波背景，頻譜指數 $\alpha =-2/3$，$-1$ 和 $-7/6$ 分別為。這給了

$\Omega _{\rm {GW}}(f)={\frac {2}{3}}{\frac {\pi ^{2}}{H_{0}^{2}}}A^{2}f^{2\alpha +2}f_{1yr}^{-2\alpha }.$

大多數早期的限制假設 $\alpha =-1$，這意味著 $\Omega _{GW}$ 具有平坦的頻譜。最近的限制考慮了更廣泛的 $\alpha$ 值。

超大質量雙黑洞背景

星系形成和演化的標準模型基於分層星系形成模型。在這個模型中，黑洞存在於星系的中心。星系合併，黑洞併合。 Burke-Spolaor (2011) 回顧了描述星系對如何首先成為重力束縛，然後大質量黑洞如何透過動力摩擦變得集中的文獻。對於足夠接近的系統，引力波最終將成為能量損失的主要機制，並最終導致兩個黑洞的合併。來自大量此類合併系統的引力波形成了脈衝星天文學家正在尋找的引力波背景。

儘管已經存在大量關於單個超大質量雙黑洞和合並星系的觀測證據，但沒有直接證據表明存在足夠靠近以發射強烈引力波的超大質量雙黑洞系統。Rodriguez 等人（2006 年）在射電星系 0402+379 (4C+37.11) 中發現了一個系統，該系統假設的黑洞位置之間的預計間距僅為 7.3 秒差距。然而，這仍然太寬，無法發射可探測的引力波。

缺乏已知的發射引力波的雙黑洞系統並不令人意外。標準的調查技術無法提供足夠的解析度來探測遙遠星系中心附近的秒差距尺度，並且沒有已知的可識別電磁輻射訊號可以導致對黑洞系統的明確探測。因此，有必要透過嘗試對黑洞特性及其合併率進行建模來預測引力波背景訊號。

引力波背景建模

許多論文都致力於透過計算不同質量的超大質量雙黑洞在不同紅移時的合併率來預測引力波背景訊號（例如，Rajagopal & Romani 1995; Jaffe & Backer 2003; Wyithe & Loeb 2003, Enoki 等人 2004, Sesana 等人 2008, Sesana & Vecchio 2010, Ravi 等人 2012, Sesana 2013, Ravi 等人 2014, Ravi 等人 2015）。這些論文中的大多數假設黑洞處於圓形軌道，並且純粹由引力波發射演化。

對引力波背景進行約束

迄今為止對背景的最嚴格限制由 Shannon 等人 (2015) 釋出。他們對 A 的上限為

$A<10^{-15}$，置信度為 95%。

先前對這種背景的限制是

參考	限制
Shannon 等人 (2015)	$10^{-15}$（置信度為 95%）
Lentati 等人 (2015)	$3\times 10^{-15}$（置信度為 95%）
Shannon 等人 (2013)	$2.4\times 10^{-15}$（置信度為 95%）
Demorest 等人 (2013)	$7\times 10^{-15}$（置信度為 95%）
Jenet 等人 (2006)	$11\times 10^{-15}$

探測引力波背景

Jenet 等人 (2005) 提供了一種探測引力波隨機背景的方法。這項工作表明，對 40 個脈衝星進行定期計時觀測，每個脈衝星的計時精度為 100 納秒，將能夠在 5 年內直接探測到預測的黑洞合併產生的隨機背景。使用改進的預白化演算法，或者如果背景處於預測範圍的上限，則僅使用 20 個脈衝星即可實現顯著的探測。

計時陣列

大多數能夠觀測脈衝星的大型射電望遠鏡目前都是脈衝星計時陣列 (PTA) 專案的一部分。2004 年，帕克斯脈衝星計時陣列 (PPTA) 開始觀測足夠多的脈衝星，並具有足夠的靈敏度來嘗試探測引力波。北美 PTA (NANOGrav) 和歐洲等效物 (EPTA) 緊隨其後。目前存在以下主要的 PTA

• 歐洲脈衝星計時陣列 (EPTA; Janssen 等人 2008)：結合了來自五個歐洲望遠鏡的資料（埃費爾斯貝格、喬德雷爾班克、南希、韋斯特伯克和撒丁島）。
• 帕克斯脈衝星計時陣列 (PPTA; Manchester 等人 2013) 使用來自帕克斯射電望遠鏡的觀測結果
• NANOGrav (Jenet 等人 2009) 使用阿雷西博和綠岸望遠鏡進行觀測。

這三個 PTA 在國際脈衝星計時陣列 (IPTA) 專案的 auspices 下共享資料和資源。IPTA 專案的詳細資訊見 Manchester 等人 (2013) 和 Hobbs 等人 (2010)。

常見問題解答

引力波與重力波

為簡單起見，我們經常談論“重力波”。然而，重力波是在流體中產生的波，當重力的作用力試圖恢復平衡時。這些與這裡討論的“引力波”不同。